Chủ đề này có 4 trả lời

[NguyThang khtn]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thảo mãn $abc=1$.CMR:
$\sum \frac{1}{a} + \frac{8}{a+b+c} \geq \frac{17}{3}$

[le_hoang1995]

Không mất tổng quát, giả sử $a=max(a;b;c), \rightarrow a\geq 1$.
Dễ thấy $f(a,b,c)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{8}{a+b+c}-\frac{17}{3}\geq \frac{4}{a+b}+\frac{1}{c}+\frac{8}{a+b+c}-\frac{17}{3}=f(\frac{a+b}{2};\frac{a+b}{2};c)$
Nên ta chứng minh trong trường hợp $a=b, \rightarrow a^2c=1$.

Thế $c=\frac{1}{a^2}$ vào biểu thức, ta cần chứng minh

$g(a)=\frac{2}{a}+a^2+\frac{8}{2a+\frac{1}{a^2}}-\frac{17}{3}\geq 0$

Khảo sát hàm số trên với $a\geq1$.

Đạo hàm $g'(a)=\frac{2(a^3-1)(2a^3-1)^2}{a^2(2a^3+1)^2}$

Dựa vào BBT, ta suy ra $g(a)\geq g(1) \geq 0$

Suy ra ĐPCM. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 08-06-2012 - 19:53

[phuc_90]

Dồn biến kiểu này không được đâu bạn

Vì $f\left(\frac{a+b}{2} ,\frac{a+b}{2} ,c\right)$ có các biến $ \ \ x=\frac{a+b}{2} \ \ , \ \ y=\frac{a+b}{2} \ \ , \ \ z=c $ đâu có thỏa điều kiện $xyz=1$

_______________________

[phuc_90]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thảo mãn $abc=1$.CMR:
$\sum \frac{1}{a} + \frac{8}{a+b+c} \geq \frac{17}{3}$

Anh giải luôn bài này vậy ... !_^)

BĐT đã cho tương đương $ \ \ \ \ ab+bc+ca+\frac{8}{a+b+c} \geq \frac{17}{3}$

Đặt $ \ \ \ \ x=a+b+c$ , $y=ab+bc+ca$ khi đó $x,y \geq 3$

BĐT được viết lại thành $ \ \ \ \ y+\frac{8}{x} \geq \frac{17}{3}$ hay $ \ \ \ \ \ \ 3xy+24-17x \geq 0$

BĐT này đúng vì $ \ \ 3xy+24-17x$ đồng biến theo biến $x$

nên $ \ \ \ \ 3xy+24-17x \geq 3.3y+24-17.3=9(y-3) \geq 0$

Vậy BĐT đã được chứng minh.

[Tham Lang]

Ngoài cách này, cũng có thể làm theo dồn biến nữa.
Thật vậy :
Đặt $a=x^2, b=y^2, c=z^2$ .Gỉa sử $z\ge 1\Leftrightarrow xy\le 1$ Ta sẽ chứng minh :
$$f(x,y,z)\ge f\left (\sqrt{xy}, \sqrt{xy}, z\right )\Leftrightarrow \dfrac{(x-y)^2}{x^2y^2}\ge 8\dfrac{(x-y)^2}{\left (x^2+y^2+z^2\right )\left (2xy+z^2\right )}$$
Như vậy, chỉ cần chứng minh :
$$\left (x^2+y^2+z^2\right )\left (2xy+z^2\right )\ge 8x^2y^2$$
Hiển nhiên đúng vì theo AM-GM, ta có :
$$\left (x^2+y^2+z^2\right )\left (2xy+z^2\right )\ge 9\sqrt[3]{x^4y^4z^4}\ge 9\sqrt[3]{x^2y^2}\ge 9x^2y^2>8x^2y^2$$
Phần còn lại không khó.