Cho ab+bc+ca =abc
Chứng minh rằng
$\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\geq \sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$
Chứng minh rằng $\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\geq \sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$
Bắt đầu bởi nightshade, 09-06-2012 - 15:11
#2
Đã gửi 09-06-2012 - 16:56
phuc_90
-
- Thành viên
-
- 438 Bài viết
Sĩ quan
Giả thiết được viết lại thành $ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} =1$
Theo BĐT Cauchy-Schwartz thì
$\sqrt{a+bc}=\frac{\sqrt{a^2+abc}}{\sqrt{a}} =\frac{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{(a+b)(a+c)}}{\sqrt{a}} \geq \frac{a+\sqrt{bc}}{\sqrt{a}} =\sqrt{a}+\sqrt{abc} \frac{1}{a}$
Tương tự ta được $ \ \ \ \ \sqrt{b+ca} \geq \sqrt{b}+\sqrt{abc} \frac{1}{b}$ $ \ \ \ \ ,$ $ \ \ \ \ \sqrt{c+ab} \geq \sqrt{c}+\sqrt{abc} \frac{1}{c}$
Cộng tất cả lại ta có đpcm
Theo BĐT Cauchy-Schwartz thì
$\sqrt{a+bc}=\frac{\sqrt{a^2+abc}}{\sqrt{a}} =\frac{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{(a+b)(a+c)}}{\sqrt{a}} \geq \frac{a+\sqrt{bc}}{\sqrt{a}} =\sqrt{a}+\sqrt{abc} \frac{1}{a}$
Tương tự ta được $ \ \ \ \ \sqrt{b+ca} \geq \sqrt{b}+\sqrt{abc} \frac{1}{b}$ $ \ \ \ \ ,$ $ \ \ \ \ \sqrt{c+ab} \geq \sqrt{c}+\sqrt{abc} \frac{1}{c}$
Cộng tất cả lại ta có đpcm
- WhjteShadow và nightshade thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
