Chủ đề này có 2 trả lời

[ahead325]

$\boxed{1}$ Cho $a,b,c$ thỏa $ - 1 \le a \le 2; - 1 \le b \le 2; - 1 \le c \le 2;a + b + c = 0$. Chứng minh: ${a^2} + {b^2} + {c^2} \le 6$
$\boxed{2}$ Cho $x,y > 0;x + y = \sqrt {10} $. Tìm GTNN của:$P = \left( {{x^4} + 1} \right)\left( {{y^4} + 1} \right)$
$\boxed{3}$ Cho $a,b,c>0;a+b+c=1$. CMR:
$\frac{{ab}}{{c + 1}} + \frac{{bc}}{{a + 1}} + \frac{{ca}}{{b + 1}} \le \frac{1}{4}$

[WhjteShadow]

Bài 1:
Do $-1\leq a,b,c\leq 2$
$\Rightarrow (a+1)(a-2)\leq 0,(b+1)(b-2)\leq 0,(c+1)(c-2)\leq 0$
$\Rightarrow a^2\leq a+2,b^2\leq b+2,c^2\leq c+2$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\leq a+b+c+6$
Mà $a+b+c=0$ Nên ta có ĐPCM
Bài 2: Do $a+b=\sqrt10$
$\Rightarrow a^2+b^2+2ab=10$ Và $ab\leq \frac{5}{2}$
$\Rightarrow (a^2+b^2)^2=(10-2ab)^2$
$\Rightarrow a^4+b^4=2a^2b^2-40ab+100$
$\Rightarrow P=a^4b^4+a^4+b^4+1=a^4b^4+2a^2b^2-40ab+101$
$\Rightarrow P=(a^2b^2-4)+10(xy-2)^2+45\geq 45$
Bài này còn tìm được cả giá trị lớn nhất cơ bạn ạ Sử dụng $ab\leq \frac{5}{2}$ để có $P\leq 101$
Bài 3: Áp dụng BĐT Cô Si Mẫu và giả thiết $a+b+c=1$ ta có:
$\frac{ab}{c+1}=\frac{ab}{a+c+b+c}\leq \frac{1}{4}(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c})$
Xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng lại ta có:
$\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ac}{b+1}\leq \frac{1}{4}(\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{bc+ac}{b+a}+\frac{ab+bc}{a+c})=\frac{1}{4}(a+b+c)=\frac{1}{4}$
~> ĐPCM

[ckuoj1]

Chém bài 1 nhé ^^
Vì -1$\leq a\leq 2$ --->(a+1)(a-2) $\leq$ 0 ----> a² -a -2 $\leq$ 0 ---> a² $\leq$ a+2
Tương tự ta cũng suy ra : b² $\leq$ b+2 ; c² $\leq$ c+2
----> a² + b² + c² $\leq$ (a+b+c) +6 =6 (do a+b+c =0)---> đpcm