Năm 2010-2011 ; Thời gian 150 phút
Câu 1: (4,0 điểm): Cho biểu thức:
$T = \frac{2x-\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}} + \frac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}} - \frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}$
1. Rút gọn T.
2. Tìm tất cả các giá trị của x nguyên để T nguyên.
Câu 2: (4,0 điểm) Gọi $x_{1}, x_{2}$ là các nghiệm nguyên của phương trình bậc hai $x^{2} - 5x + 2 = 0$
1. Tính giá trị của biểu thức $H = \left|3x_{1}-x_{2} \right| + \left|3x_{2}-x_{1} \right|$
2. Cho $S = \left(5-2\sqrt{17} \right)^{2010} + \left(5+2\sqrt{17} \right)^{2010}$. Chứng minh rằng S là số nguyên.
Câu 3: (2,0 điểm) Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm:
\begin{cases} & \sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}} + \sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}= 2 \\ & 3\sqrt{1-y^{2}}+ 2 \left|x \right|= 4-m\end{cases}
Câu 4: (5,0 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R, (R là một độ dài cho trước). Hai điểm M, N chạy trên nửa đường tròn (O) sao cho M thuộc cung AN và độ dài dây MN bằng R.
1. Tính tổng các khoảng cách d từ hai điểm A, B đến đường thẳng (MN).
2. Gọi E là giao điểm của dây AN và BM. Tính bán kính của đường tròn ($O_{1}$) ngoại tiếp tam giác EMN theo R.
3. Đường thẳng (AM) cắt đường tròn ($O_{1}$) tại điểm thứ hai k, ($K \neq M$). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác KAB khi M, N thay đổi trên nửa đường tròn (O) nhưng vẫn thỏa mãn giả thiết của bài toán.
Câu 5: (2,0 điểm) Cho $f(x) = x^{2} +bx +c$. Chứng minh rằng nếu $f(x)> 0$với $x \epsilon R$ thì f(x) có thể phân tích thành tổng các bình phương của 2 nhị thức bậc nhất (tức là chứng minh tồn tại các số thực:$m_{1}, m_{2}, n_{1}, n_{2} với m_{1} \neq 0, m_{2}\neq 0$ sao cho $f(x) = (m_{1}x+n_{1})^{2} + (m_{2}x+n_{2})^{2})$.
Câu 6: (3,0 điểm). Biết rằng với hai số thực không âm a, b bất kì ta luôn có $a+b\geq 2\sqrt{ab}$, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Chứng minh rằng:
1. Với 3 số thực không âm a, b, c bất kì ta luôn có:
$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$,
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
2. Với 3 số thực dương x, y, z bất kì ra luôn có:
$\frac{1}{x+y+z+1} - \frac{1}{(x+1)(y+1)(z+1)} \leq \frac{1}{8}$
khi nào xảy ra dấu đẳng thức?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mango: 15-06-2012 - 05:52