Chủ đề này có 1 trả lời

[Mr.thaipro(^_^)]

Cho $x;y>0$ thỏa mãn: $x^3+y^3-3xy(x^2+y^2)+4x^2y^2(x+y)-4x^3y^3=0$. Tìm min của $M=x+y$

[minh29995]

Cho $x;y>0$ thỏa mãn: $x^3+y^3-3xy(x^2+y^2)+4x^2y^2(x+y)-4x^3y^3=0$. Tìm min của $M=x+y$

Do x,y>0 nên chia cả 2 vế cho $x^3y^3$ ta được:
$\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}-3(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})+4(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})-4=0$
Đặt:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=S, \frac{1}{xy}=P$ ta được:
$S(S^2-3P)+4S=3(S^2-2P)-4$
$\Leftrightarrow S^3-3S^2+4S-4=3P(S-2)$
$\Leftrightarrow (S-2)(S^2-S+2-3P)=0$
Ta có $\frac{1}{4}S^2+1\geq S$ và $\frac{3}{4}S^2+1\geq 3P$ nên $S^2-S+2-3P>0$
Do đó S=2
$\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$
mà $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$ Theo Cauchy-Schwart
Do đó $x+y \geq 2$
Dấu bằng xảy ra khi x=y=1