Đề thi tuyển sinh thpt chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2012-2013 (đề chuyên)
#1
Posted 13-06-2012 - 20:15
1) Cho x,y là các số không âm. Chứng minh:
$\sqrt{x+\sqrt[3]{x^{2}y}}+\sqrt{y+\sqrt[3]{y^{2}x}}=(\sqrt{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}})^{3}$.
2) Cho a,b,c là các số phân biệt thoả mãn: $\left\{\begin{matrix} a+\frac{2}{b}=b+\frac{2}{c} =c+\frac{2}{a}& \\ abc\neq 0& \end{matrix}\right.$
Chứng minh $\left | abc \right |=2\sqrt{2}$.
Bài 2: (2,5 điểm)
1) GIải phương trình: $x^{4}-5x^{3}+8x^{2}-5x+1=0$.
2) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} xy-3x-2y=3 & \\ x^{2}+y^{2}-x-3y=38& \end{matrix}\right.$
Bài 3: (3 điểm) Cho tamgiác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Các tiếp tuyến của đường tròn tại B,C cắt nhau ở T. Đường thẳng AT cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D.
1) Chứng minh AB.CD=AC.BD
2) Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh $\angle BAD=\angle CAM$.
Bài 4: (1,5 điểm)
1) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x;y) thoả mãn: (xy+7)2=$x^{2}+y^{2}$
2) Tìm n nguyên dương thoả mãn: $\frac{4.1}{4.1^{4}+1}+\frac{4.2}{4.2^{4}+1}+...+\frac{4n}{4n^{4}+1}=\frac{220}{221}$
Bài 5: (1 điểm) Có 2010 người xếp thành một vòng tròn, lúc đầu mỗi người cầm 1 chiếc kẹo. Mỗi bước chọn hai người có kẹo và thực hiện: Mỗi người chuyển 1 chiếc kẹo cho người bên cạnh (về bên trái hoặc phải). Sau hữu hạn bước có thể xảy ra trường hợp tất cả số kẹo chuyển về một người hay không?
- L Lawliet, nthoangcute, davildark and 3 others like this
#2
Posted 13-06-2012 - 20:31
Attached Files
Edited by Ispectorgadget, 13-06-2012 - 20:34.
- Nhóc shiho and L Lawliet like this
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#3
Posted 13-06-2012 - 20:54
Đặt $\sqrt[3]{x}=a;\sqrt[3]{y}=b$
ta cần cm $\sqrt{a^{3}+{a^{2}b}}+\sqrt{b^{3}+{b^{2}a}}=(\sqrt{a+b})^{3}$
cái này dẽ cm được
Bài 2
1) Thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình chia cả hai cế của phương trình cho $x^{2}$ ta có
$x^{2}-5x+8-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0$ (*)
dặt $x+\frac{1}{x}=y$ phương trình (*) trở thành
$y^{2}-5y+6=0$
$\Leftrightarrow (y-2)(y-3)=0$
Nếu y=2 thì $x^{2}-2x+1=0\Leftrightarrow x=1$
Nếu y=3 thì $x^{2}-3x+1=0$
phương trình có tập nghiệm là $\left \{ \frac{3-\sqrt{5}}{2};1;\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right \}$
2)
Đặt xy=P; x+y=S
hệ trở thành $\left\{\begin{matrix} P-3S+y=3\\ S^{2}-2P-S-2y=38 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow S^{2}-2P-S-2y+2P+6S+2y=38+6$
$\Leftrightarrow S^{2}-7S-44=0$
$\Leftrightarrow (S-11)(S+4)=0$
Nếu x+y =11thay x=11-y ta có nghiệm (x;y)=(5;6)
Néu x+y =-4 CMTT (x;y)=$\left ( \frac{-5-3\sqrt{5}}{2} ;\frac{-3+3\sqrt{5}}{2}\right );\left ( \frac{-5+3\sqrt{5}}{2} ;\frac{-3-3\sqrt{5}}{2}\right )$
---
mình sửa rồi đó !!!
Edited by hamdvk, 15-06-2012 - 08:13.
- perfectstrong, L Lawliet, thusang3605 and 2 others like this
~.......................................................~
$\Phi \frac{\because Nguyen Thai Ha\therefore }{14/07/97}\Phi$
~.............................................................................................~
#4
Posted 13-06-2012 - 20:56
Chém thử bài này:Bài 1: (2 điểm)
1) Cho x,y là các số không âm. Chứng minh:
$\sqrt{x+\sqrt[3]{x^{2}y}}+\sqrt{y+\sqrt[3]{y^{2}x}}=(\sqrt{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}})^{3}$.
Biến đổi $VT$:
$$VT=\sqrt{x+\sqrt[3]{x^2y}}+\sqrt{y+\sqrt[3]{y^2x}}$$
$$=\sqrt{\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})}+\sqrt{\sqrt[3]{y}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})}$$
$$=\sqrt{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}(\sqrt{\sqrt[3]{x}}+\sqrt{\sqrt[3]{y}})$$
$$=\sqrt{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}(\sqrt[6]{x^2}+\sqrt[6]{y^2})$$
(Áp dụng tính chất: $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[m.n]{a}$)
$=\sqrt{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=VP)$
___
Post chậm
Edited by L Lawliet, 26-06-2012 - 16:26.
- hamdvk likes this
Thích ngủ.
#5
Posted 13-06-2012 - 21:02
2) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} xy-3x-2y=3 & \\ x^{2}+y^{2}-x-3y=38& \end{matrix}\right.$
Một lời giải khác
Đặt $ \left\{\begin{matrix}
x=u+5 & & \\y=v+6
& &
\end{matrix}\right. $
Phương trình trở thành
$\left\{\begin{matrix}
3(u+v)+uv=0 & & \\(u+v)^2+9(u+v)-2uv=0
& &
\end{matrix}\right.$
Đặt $ \left\{\begin{matrix}
u+v=S & & \\uv=P
& &
\end{matrix}\right.(S^2-4P\geq0)$
Hệ trở thành $\left\{\begin{matrix}
3S+P=0 & & \\ S^2+9S-2P=0
& &
\end{matrix}\right.$
Hệ này đơn giản rồi !!!
Edited by luxubuhl, 14-06-2012 - 20:35.
- perfectstrong, L Lawliet and hamdvk like this
#6
Posted 13-06-2012 - 21:03
Đề thi PTNK HCM đây mà2) Cho a,b,c là các số phân biệt thoả mãn: $\left\{\begin{matrix} a+\frac{2}{b}=b+\frac{2}{c} =c+\frac{2}{a}& \\ abc\neq 0& \end{matrix}\right.$
Chứng minh $\left | abc \right |=2\sqrt{2}$.
$$(a-b)(b-c)(c-a)=(\frac{2}{c}-\frac{2}{b}).(\frac{2}{a}-\frac{2}{c}).(\frac{2}{b}-\frac{2}{a})=\frac{2.(b-c).2.(c-a).2(a-b)}{a^2.b^2.c^2}=\frac{8(a-b)(b-c)(c-a)}{a^2.b^2.c^2}$$
$$\Rightarrow {a^2.b^2.c^2}=8 \Rightarrow \left | abc \right |=2\sqrt{2}$$
Edited by davildark, 13-06-2012 - 21:03.
- perfectstrong, L Lawliet, hamdvk and 2 others like this
#7
Posted 13-06-2012 - 21:13
Ta gọi 2010 người đó là các điểm . Tô màu các điểm xen kẽ nhau bằng 2 màu đen trắngBài 5: (1 điểm) Có 2010 người xếp thành một vòng tròn, lúc đầu mỗi người cầm 1 chiếc kẹo. Mỗi bước chọn hai người có kẹo và thực hiện: Mỗi người chuyển 1 chiếc kẹo cho người bên cạnh (về bên trái hoặc phải). Sau hữu hạn bước có thể xảy ra trường hợp tất cả số kẹo chuyển về một người hay không?
Nếu ta chọn 2 điểm cùng màu đen ( 2 điểm màu trắng làm tương tự ) để thực hiện thì số điểm màu trắng tăng lên 2 số điểm.đen giảm 2
Nếu chọn 2 điểm khác màu thì số điểm đen trắng không đổi
Ta thấy sau mỗi lần thực hiện thì số điểm tăng giảm là đều là số chẵn
Nếu như có số lần thõa mản đề bài thì số điểm trên các ô đều là số chẵn
Mà theo nhận xét kết hợp với việc mỗi người chỉ cầm 1 viên kẹo thì ta thấy số kẹo không thể là số chẵn
Vậy không thể thực hiện được trường hợp tất cả số kẹo chuyển về một người
- perfectstrong, L Lawliet, BlackSelena and 5 others like this
#8
Posted 13-06-2012 - 21:14
1) Dặt x+y =S; xy =P phương trình trở thành
$(P+7)^{2}=S^{2}-2P \Leftrightarrow (P+8)^{2}=S^{2}+15$
$\Leftrightarrow (P+S+8)(P-S+8)=15$
vì x, y tự nhiên nên S,P tự nhiên có P+S+8 >7
$\Rightarrow P+8-S> 0\Rightarrow P+S+8> P+8-S> 0$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} P+S+8=15\\ P-S+8=1 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} P+S=7\\ S-P=7 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} P=0\\ S=7 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} xy=0\\ x+y=7 \end{matrix}\right.$
vậy phương trình có hai nghiệm (x;y)=(0;7);(7;0)
2)
Sử dụng
$\frac{4n}{4n^{4}+1}=\frac{(2n^{2}+2n+1)-(2n^{2}-2n+1)}{(2n^{2}+2n+1)(2n^{2}-2n+1)}$
$=\frac{1}{(2n^{2}-2n+1)}-\frac{1}{(2n^{2}+2n+1)}$
$=\frac{1}{2(n-1)n+1}-\frac{1}{2n(n+1)+1}$
khử liên tiếp suy ra n=10
--
bài này thi khtn rồi thì phải
Edited by hamdvk, 13-06-2012 - 21:23.
- L Lawliet, davildark and uchihasatachi061 like this
~.......................................................~
$\Phi \frac{\because Nguyen Thai Ha\therefore }{14/07/97}\Phi$
~.............................................................................................~
#9
Posted 14-06-2012 - 09:00
bạn ơi nghiệm ở phần x+y=-4 sai rồiBài 1
Đặt $\sqrt[3]{x}=a;\sqrt[3]{y}=b$
ta cần cm $\sqrt{a^{3}+{a^{2}b}}+\sqrt{b^{3}+{b^{2}a}}=(\sqrt{a+b})^{3}$
cái này dẽ cm được
Bài 2
1) Thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình chia cả hai cế của phương trình cho $x^{2}$ ta có
$x^{2}-5x+8-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0$ (*)
dặt $x+\frac{1}{x}=y$ phương trình (*) trở thành
$y^{2}-5y+6=0$
$\Leftrightarrow (y-2)(y-3)=0$
Nếu y=2 thì $x^{2}-2x+1=0\Leftrightarrow x=1$
Nếu y=3 thì $x^{2}-3x+1=0$
phương trình có tập nghiệm là $\left \{ \frac{3-\sqrt{5}}{2};1;\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right \}$
2)
Đặt xy=P; x+y=S
hệ trở thành $\left\{\begin{matrix} P-3S+y=3\\ S^{2}-2P-S-2y=38 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow S^{2}-2P-S-2y+2P+6S+2y=38+6$
$\Leftrightarrow S^{2}-7S-44=0$
$\Leftrightarrow (S-11)(S+4)=0$
Nếu x+y =11thay x=11-y ta có nghiệm (x;y)=(5;6)
Néu x+y =-4 CMTT (x;y)=$\left ( \frac{-5-4\sqrt{5}}{2} ;\frac{-3+4\sqrt{5}}{2}\right );\left ( \frac{-5+4\sqrt{5}}{2} ;\frac{-3-4\sqrt{5}}{2}\right )$
Edited by thoconlk, 14-06-2012 - 19:55.
- hamdvk likes this
#10
Posted 14-06-2012 - 18:20
--> Bạn giải thích câu này rõ hơn được không?
#11
Posted 14-06-2012 - 20:07
Mình xin đưa ra một cách giải đơn giản:Bài 5: (1 điểm) Có 2010 người xếp thành một vòng tròn, lúc đầu mỗi người cầm 1 chiếc kẹo. Mỗi bước chọn hai người có kẹo và thực hiện: Mỗi người chuyển 1 chiếc kẹo cho người bên cạnh (về bên trái hoặc phải). Sau hữu hạn bước có thể xảy ra trường hợp tất cả số kẹo chuyển về một người hay không?
1, Đánh số cho 2010 vị trí từ 1 đến 2010
2, Gọi C là tổng số kẹo ở vị trí chẵn, L là tổng số kẹo ở vị trí lẻ. Theo bài ra thì C=L=1005 -> ban đầu là 1 số lẻ. Tất cả số kẹo chuyển về 1 chỗ -> C=2010 hoặc L=2010
3, Khi ta chuyển kẹo ở 1 vị trí chẵn sẽ làm cho số kẹo ở 1 vị trí lẻ tăng lên 1 và ngược lại. Xét các trường hợp chuyển kẹo ở các vị trí sau:
- TH1: Vị trí lẻ+lẻ sẽ làm tăng tổng số kẹo ở các vị trí chẵn lên 2 -> C tăng 2, L giảm 2
- TH2: Vị trí chẵn+chẵn sẽ làm tăng tổng số kẹo ở các vị trí lẻ lên 2 -> L tăng 2, C giảm 2
- TH3: Vị trí chẵn+lẽ sẽ làm: L tăng 1 và giảm 1 -> L không đổi, C không đổi.
Qua 3 trường hợp trên ta thấy C và L luôn luôn là 1 số lẻ sau 1 số lần hữu hạn chuyển kẹo -> luôn luôn tồn tại 2 vị trí mà ở đó có ít nhất 1 kẹo. Vậy không thể chuyển tất cả kẹo về một người được.
p/s: Cách này chỉ giải được đối với những bài mà số kẹo chia hết cho 2 mà k chia hết cho 4, hy vọng sẽ có "cao thủ" đưa ra cách giải tổng quát hơn và đẹp hơn
- perfectstrong, hamdvk, thoconlk and 4 others like this
#12
Posted 15-06-2012 - 22:14
1) Dễ chứng minh vì ABDC là tứ giác điều hòa
2)Gọi E là giao điểm của AM với (O) ,vẽ AK song song với BC thì A và K đối xứng với nhau qua OT
Dễ chứng minh K,E,T thẳng hàng
Suy ra $\widehat{CAM}=\widehat{CKE}$ mà $\widehat{CKE}=\widehat{BAD}$(tc đối xứng)
Suy ra $\angle BAD=\angle CAM$.
Edited by dohuuthieu, 15-06-2012 - 22:16.
- perfectstrong, phanquockhanh and Phuong Mark like this
#13
Posted 31-07-2013 - 20:05
Bài 3: (3 điểm) Cho tamgiác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Các tiếp tuyến của đường tròn tại B,C cắt nhau ở T. Đường thẳng AT cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D.
1) Chứng minh AB.CD=AC.BD
2) Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh $\angle BAD=\angle CAM$.
câu 1: 1.▲BDT ĐỒNG DẠNG VS ▲ABT(gg)=> BD/AB=BT/AT=>AB/BD=AT/CT(1)▲ACT ĐỒNG DẠNG ▲CDT (gg) => AC/CD=AT/CT(2)
Từ (1) và (2)=> AB/BD=AC/CD0=>ĐPCM
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users