1 reply to this topic

[xuanhung]

Tìm các giá trị nguyên dương của phương trình:

$$\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}-1+\frac{1}{z^{2}}=-\frac{1}{t^{2}}$$

[nguyenta98]

Tìm các giá trị nguyên dương của phương trình:

$$\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}-1+\frac{1}{z^{2}}=-\frac{1}{t^{2}}$$

Giải như sau:
$pt \Leftrightarrow \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{t^2}=1$
WLOG giả sử $x\geq y\geq z\geq t \Rightarrow x^2\geq y^2\geq z^2\geq t^2$
Suy ra $\dfrac{1}{x^2}\le \dfrac{1}{y^2}\le \dfrac{1}{z^2}\le \dfrac{1}{t^2}$
$\Rightarrow 1\le 4\dfrac{1}{t^2} \Rightarrow \dfrac{1}{4}\le \dfrac{1}{t^2}$
$\Rightarrow 4\geq t^2 \rightarrow t\le 2$
Do đó $t=1,2$
Nếu $t=1$ suy ra $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=0$ vô lý
Nếu $t=2$ thay vào suy ra $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=\dfrac{3}{4}$
Khi đó lại có $3\dfrac{1}{z^2}\geq \dfrac{3}{4} \rightarrow z^2\le 4 \rightarrow z=1,2$
Nếu $z=1 \rightarrow \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{-1}{4}$ loại
Nếu $z=2 \rightarrow \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{1}{2}$
Khi đó lại có $2.\dfrac{1}{y^2}\geq \dfrac{1}{2} \rightarrow y^2\le 4 \rightarrow y=1,2$
$y=1$ loại $y=2 \rightarrow x=2$
Vậy $\boxed{(x,y,z,t)=(2,2,2,2)}$

Edited by nguyenta98, 13-06-2012 - 21:52.