Chủ đề này có 2 trả lời

[xucxichnuong]

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:
$x{y}'+y= y^{2}lnx$

[Crystal]

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:
$x{y}'+y= y^{2}lnx$

Phương trình đã cho được viết lại: \[y' + \frac{1}{x}y = \frac{{\ln x}}{x}{y^2}\,\,\,\,\left( {x \ne 0} \right)\]
Đây chính là phương trình Bernoulli. Viết lại:
\[y'{y^{ - 2}} + \frac{1}{x}{y^{ - 1}} = \frac{{\ln x}}{x}\,\,\,\,\left( {y \ne 0} \right)\]
Đặt $u = {y^{ - 1}} \Rightarrow u' = - y'{y^{ - 2}}$, thay vào phương trình trên ta được phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 đã biết cách giải.

[CD13]

Nhận xét $y=0$ là nghiệm phương trình.
Xét $y\neq 0$, chia $2$ vế phương trình cho $x.y^2$ ta được:

$\frac{y'}{y^2}+\frac{1}{x}\frac{1}{y}=\frac{\ln x}{x}$

Đặt $z=\frac{1}{y}$, suy ra $z'=-\frac{y'}{y^2}$, phương trình viết lại: $z'-\frac{1}{x}z=-\frac{\ln x}{x}$

Đây là phương trình tuyến tính bậc nhất dạng $z'+p(x)z=q(x)$ có công thức nghiệm:

$z=e^{-\int p(x)dx}\left ( C+\int q(x).e^{\int p(x)dx)}dx \right )$

Do đó nghiệm tổng quát phương trình (tuyến tính) là:

$z=e^{-\int -\frac{dx}{x}}\left ( C-\int \frac{\ln x}{x}.e^{\int -\frac{dx}{x}}dx \right )\\ \\=x\left ( C-\int \frac{\ln xdx}{x^2} \right )\\ \\=x\left ( C+\frac{\ln x+1}{x} \right )=Cx+\ln x+1\\ \\ \Rightarrow y=\frac{1}{Cx+\ln x+1}$

____________________
Gõ xong lời giải lâu chết được, xong nhìn thấy Thành hướng dẫn giải rồi. Bực!


@ WWW: Một lời giải hoàn chỉnh vẫn hay hơn thầy ạ.