Giải như sau:
P/S mất cả ngày nghĩ bài này chú ý rằng mấy phần chứng minh tương tự, phương pháp làm y hệt và chắc chắn sẽ đến kết quả, nếu cần mình sẽ post nhưng chỉ sợ dài thôi
P/S: Nguyên xem lại, bài này còn một số lỗi nho nhỏ, nhưng cũng không đáng kể lắm
________________
$\boxed{\text{NLT_CL}}$ Another Solution:Với $n=2$, dễ thấy tồn tại $m$ thỏa mãn.
Ta cũng chứng minh bài này bằng quy nạp.
Giả sử $n=k$ đúng hay tồn tại $m$ để $m^3+17 \vdots 3^k$ mà $m^3+17$ không chia hết cho $3^{k+1}$Ta chứng minh rằng đối với trường hợp $n=k+1$ cũng đúng tức là tồn tại một số $m'$ sao cho $m'^3+17 \vdots 3^{k+1}$ mà không chia hết cho $3^{k+2}$.
Đặt ${m^3} + 17 = {3^k}.n$ $\to n $ không chia hết cho 3.
$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
n \equiv 2 \\
n \equiv 1 \\
\end{array} \right.\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
{m^3} + 17 \equiv {2.3^k} \\
{m^3} + 17 \equiv {3^k} \\
\end{array} \right.\left( {\bmod {3^{k + 1}}} \right)$.
$\bullet$ Trường hợp 1: ${m^3} + 17 \equiv 2.{3^k} (mod 3^{k+1})$
Xét: ${\left( {m + {3^{k - 1}}} \right)^3} = {m^3} + {m^2}{3^k} + m{3^{2k - 1}} + {3^{3k - 3}} \equiv {m^3} + {m^2}{3^k}\left( {\bmod {3^{k + 1}}} \right)$.
(Do $k \ge 2 \to {3^{2k - 1}} \vdots {3^{k + 1}};{3^{3k - 3}} \vdots {3^{k + 1}}$).
Suy ra: ${\left( {m + {3^{k - 1}}} \right)^3} + 17 \equiv {m^3} + {m^2}{3^k} + 17 \equiv {2.3^k} + {m^2}{3^k} \equiv 0\left( {\bmod {3^{k + 1}}} \right)$ (vì $m$ không chia hết cho 3 nên ${m^2} \equiv 1\left( {\bmod 3} \right) \to 2 + {m^2} \vdots 3 \to \left( {2 + {m^2}} \right){.3^k} \vdots {3^{k + 1}}$).
Như vậy, ở trường hợp 1, ta có: ${\left( {m + {3^{k - 1}}} \right)^3} + 17 \vdots {3^{k + 1}}$.
$\bullet$ Trường hợp 2: ${m^3} + 17 \equiv {3^k} (mod 3^{k+1})$.
Xét: ${\left( {m - {3^{k - 1}}} \right)^3} = {m^3} - {m^2}{3^k} + m{3^{2k - 1}} - {3^{3k - 3}} \equiv {m^3} - {m^2}{3^k}\left( {\bmod {3^{k + 1}}} \right)$.
(Do $k \ge 2 \to {3^{2k - 1}} \vdots {3^{k + 1}};{3^{3k - 3}} \vdots {3^{k + 1}}$).
Suy ra: ${\left( {m - {3^{k - 1}}} \right)^3} + 17 \equiv {m^3} - {m^2}{3^k} + 17 \equiv {3^k} - {m^2}{3^k} \equiv 0\left( {\bmod {3^{k + 1}}} \right)$
(vì $m$ không chia hết cho 3 nên ${m^2} \equiv 1\left( {\bmod 3} \right) \to 1 - {m^2} \vdots 3 \to \left( {1 - {m^2}} \right){.3^k} \vdots {3^{k + 1}}$.
Như vậy, ở trường hợp 2 ta có: ${\left( {m - {3^{k - 1}}} \right)^3} + 17 \vdots {3^{k + 1}}$.
Để ý rằng, $m$ không chia hết cho 3 (do $m^3 + 17$ chia hết cho 3) nên ${\left( {m + {3^{k - 1}}} \right)^3}\& {\left( {m - {3^{k - 1}}} \right)^3}$đều không chia hết cho 3.
Tóm lại, ta đều tìm được số nguyên t không chia hết cho 3 mà ${t^3} + 17 \vdots {3^{k + 1}}$.*
Nếu ${t^3} + 17$ không chia hết cho $3^{k + 2}$ thì vấn đề đã được giải quyết.
*
Nếu ${t^3} + 17 \vdots {3^{k + 2}}$, ta xét số $p = t - {2.3^k}$.
Ta có: ${\left( {t - {{2.3}^k}} \right)^3} = {t^3} - 2{t^2}{.3^{k+1}} + {2.3^{2k + 1}} - {8.3^{3k}} \equiv {t^3} - 2{t^2}{.3^{k+1}}\left( {\bmod 3^{k + 2}} \right)$ (do $3k \ge k + 2;2k + 1 \ge k + 2$).
$ \to {p^3} \equiv {t^3} - 2{t^2}{.3^{k + 1}}\left( {\bmod 3^{k + 2}} \right) \to {p^3} + 17 \equiv {t^3} - 2{t^2}{.3^{k + 1}} + 17 \equiv - 2{t^2}{.3^{k + 1}}\left( {\bmod 3^{k+2} } \right)$.
Mặt khác $t$ không chia hết cho 3 nên $ - 2{t^2}{.3^{k + 1}}$ không chia hết cho $3^{k + 2}$, do vậy $p^3+17$ không chia hết cho $3^{k+2}$.
Dễ thấy $p$ không chia hết cho 3. Để ý rằng: ${p^3} = {\left( {t - {{2.3}^k}} \right)^3} = {t^3} - 2{t^2}{.3^{k + 1}} + {2.3^{2k + 1}} - {8.3^{3k}} \equiv {t^3}\left( {\bmod {3^{k + 1}}} \right) \to {p^3} + 17 \equiv {t^3} + 17\left( {\bmod {3^{k + 1}}} \right)
\to {p^3} + 17 \vdots {3^{k + 1}}$.
Như vậy, ở trường hợp ${t^3} + 17 \vdots {3^{k + 2}}$ ta tìm được một số $p$ thỏa ${p^3} + 17 \vdots {3^{k + 1}}$ mà không chia hết cho $3^{k + 2}$.
Tóm lại, ta đã chứng minh được vấn đề đúng trong trường hợp $n=k+1$.
Theo nguyên lý quy nạp $\to Q.E.D $. $\boxed{\textit{The problem is completely solved ...}}$.
___
P/S: Bài làm không tránh khỏi những sai sót và lập luận còn chưa chặt chẽ, các bạn thông cảm và góp ý nhé, thanks !
___
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan11: 18-06-2012 - 18:22