Xác định tất cả các hàm số $f$ từ $R \mapsto R$ sao cho:
$f(\sqrt{2}x) +f((4+3\sqrt{2})2)=2f((2+\sqrt{2})x)$
Xác định tất cả các hàm số $f$ từ $R \mapsto R$ sao cho: $$f(\sqrt{2}x) +f((4+3\sqrt{2})2)=2f((2+\sqrt{2})x)$$
#1
Posted 18-06-2012 - 10:24
It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow
#2
Posted 18-09-2014 - 22:16
Xác định tất cả các hàm số $f$ từ $R \mapsto R$ sao cho:
$f(\sqrt{2}x) +f((4+3\sqrt{2})2)=2f((2+\sqrt{2})x)$
Đặt $t=\sqrt{2}x\Rightarrow f(t)+f(8+6\sqrt{2})=2f((1+\sqrt{2})t)$
$\Rightarrow f(x)=2f((1+\sqrt{2})x)-f(8+6\sqrt{2})$ (1)
Đặt $f(8+6\sqrt{2})=p$ ($p$ là một hằng số nào đó)
Và $f(1)=q+p$ ($q$ cũng là một hằng số)
Từ (1) suy ra :
$f(1+\sqrt{2})=\frac{q}{2}+p$
$f((1+\sqrt{2})^2)=\frac{q}{2^2}+p$
$f((1+\sqrt{2})^3)=\frac{q}{2^3}+p$
....................................................
.....................................................
$\Rightarrow$ hàm $f(x)$ có dạng $f(x)=\frac{q}{2^{\log_{1+\sqrt{2}}x}}+p$
Mặt khác vì $f(8+6\sqrt{2})=p$ nên suy ra $q=0$.
Vậy tất cả các hàm cần tìm có dạng $f(x)=p$ trong đó $p$ là số thực bất kỳ.
(Ứng với mỗi số thực ta có một hàm số thoả mãn ---> có vô số hàm số thoả mãn ĐK đề bài)
Edited by chanhquocnghiem, 18-09-2014 - 22:29.
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#3
Posted 19-09-2014 - 19:44
Đặt $t=\sqrt{2}x\Rightarrow f(t)+f(8+6\sqrt{2})=2f((1+\sqrt{2})t)$
$\Rightarrow f(x)=2f((1+\sqrt{2})x)-f(8+6\sqrt{2})$ (1)
Đặt $f(8+6\sqrt{2})=p$ ($p$ là một hằng số nào đó)
Và $f(1)=q+p$ ($q$ cũng là một hằng số)
Từ (1) suy ra :
$f(1+\sqrt{2})=\frac{q}{2}+p$
$f((1+\sqrt{2})^2)=\frac{q}{2^2}+p$
$f((1+\sqrt{2})^3)=\frac{q}{2^3}+p$
....................................................
.....................................................
$\Rightarrow$ hàm $f(x)$ có dạng $f(x)=\frac{q}{2^{\log_{1+\sqrt{2}}x}}+p$
Mặt khác vì $f(8+6\sqrt{2})=p$ nên suy ra $q=0$.
Vậy tất cả các hàm cần tìm có dạng $f(x)=p$ trong đó $p$ là số thực bất kỳ.
(Ứng với mỗi số thực ta có một hàm số thoả mãn ---> có vô số hàm số thoả mãn ĐK đề bài)
Chỗ màu đỏ chỉ kết luận được $f\left[(1+\sqrt{2})^n\right]=\frac{q}{2^n}+p\ \forall n\in\mathbb{N}$
Đâu thể suy ra ngay dạng $f(x)=\frac{q}{2^{\log_{1+\sqrt{2}}x}}+p,\ \forall x$ vì không phài số thực $x$ nào cũng có dạng $(1+\sqrt{2})^n$ đâu. Số dạng $\log_{1+\sqrt{2}}x$ chưa chắc là số tự nhiên $\forall x$ đâu.
Edited by Kool LL, 20-09-2014 - 01:35.
#4
Posted 19-09-2014 - 21:24
Đây chính là Vietnam TST 1994 P5, lời giải có thể tham khảo thêm ở tài liệu dưới (tr. 43-44)
Viet Nam TST 1989-2004.PDF 1.31MB 168 downloads
- tohoproirac likes this
"Nothing is impossible"
(Napoleon Bonaparte)
#5
Posted 20-09-2014 - 00:16
Xác định tất cả các hàm số $f$ từ $R \mapsto R$ sao cho:
$f(\sqrt{2}x) +f\left[(4+3\sqrt{2})2\right]=2f\left[(2+\sqrt{2})x\right]$
$\Leftrightarrow f(\sqrt{2}x) +f\left[(1+\sqrt{2})^2.2\sqrt{2}\right]=2f\left[(1+\sqrt{2}).\sqrt{2}x\right],\ \forall x\in\mathbb{R},\ \forall x\in\mathbb{R}$ (1)
Đặt $a=1+\sqrt{2}>1$ ; $b=f\left(2\sqrt{2}a^2\right)$
$\forall y\in\mathbb{R}$, chọn $x=\frac{y}{\sqrt{2}}$ thì (1) suy ra : $f(y)+b=2f(ay),\ \forall y\in\mathbb{R}$ (2)
Đặt $g(x)=f(x)-b,\ \forall x$ $\leftrightarrow$ $f(x)=g(x)+b,\ \forall x$ thì (2) suy ra : $\begin{cases}g(ax)=\frac{1}{2}g(x),\ \forall x\in\mathbb{R} \\ g(2\sqrt{2}a^2)=0\end{cases}$ (3)
(3) $\overset{x=0}{\Rightarrow} g(0)=0$. Do đó $f(0)=b$. (*)
Đặt $h(x)=\frac{g(x)}{|x|^{\log_{a}\left(\frac{1}{2}\right)}},\ \forall x\ne0$ $\leftrightarrow g(x)=|x|^{\log_{a}\left(\frac{1}{2}\right)}.h(x),\ \forall x\ne0$ thì (3) suy ra : $\begin{cases}h(ax)=h(x),\ \forall x\in\mathbb{R}^* \\ h(2\sqrt{2}a^2)=0\end{cases}$ (4)
$\boxed{}$ Xét $x>0$ :
$\forall t\in\mathbb{R}$, chọn $x=a^t>0$ thì (4) suy ra : $h\left(a^{t+1}\right)=h\left(a^t\right),\ \forall t\in\mathbb{R}$ (4.1)
Đặt $\varphi (t)=h(a^t)\ \forall t$ $\leftrightarrow h(x)=\varphi\left(\log_{a}{x}\right),\ \forall x>0$ thì (4.1) suy ra : $\varphi (t+1)=\varphi(t),\ \forall t\in\mathbb{R}$.
Suy ra $\varphi$ là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì $1$ xác định trên $\mathbb{R}$.
$\boxed{}$ Xét $x<0$ :
$\forall t\in\mathbb{R}$, chọn $x=-a^t<0$ thì (4) suy ra : $h\left(-a^{t+1}\right)=h\left(-a^t\right),\ \forall t\in\mathbb{R}$ (4.2)
Đặt $\varphi' (t)=h(-a^t)\ \forall t$ $\leftrightarrow h(x)=\varphi'\left[\log_{a}{(-x)}\right],\ \forall x<0$ thì (4.2) suy ra : $\varphi'(t+1)=\varphi'(t),\ \forall t\in\mathbb{R}$.
Suy ra $\varphi'$ là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì $1$ xác định trên $\mathbb{R}$.
Tóm lại : $h(x)=\varphi\left(\log_{a}{|x|}\right),\ \forall x\in\mathbb{R}^*$, trong đó $\varphi$ là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì $1$ xác định trên $\mathbb{R}$
và thoả $0=h(2\sqrt{2}a^2)=\varphi\left(2+\log_{a}{2\sqrt{2}}\right)=\varphi\left(\log_{a}{2\sqrt{2}}\right)$.
Suy ra $f(x)=g(x)+b=|x|^{\log_{a}\left(\frac{1}{2}\right)}.h(x)+b=|x|^{\log_{a}\left(\frac{1}{2}\right)}.\varphi\left(\log_{a}{|x|}\right)+b,\ \forall x\in\mathbb{R}^*$ (**)
Từ (*)(**), vậy : $\boxed{f(x)=\begin{cases}b & \text{, nếu } x=0 \\ |x|^{\log_{1+\sqrt{2}}\left(\frac{1}{2}\right)}.\varphi\left(\log_{1+\sqrt{2}}{|x|}\right)+b & \text{, nếu }x\ne0\end{cases}}$
trong đó : $b$ tuỳ ý, $\varphi$ là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì $1$ xác định trên $\mathbb{R}$ và thoả $\varphi\left[\log_{1+\sqrt{2}}(2\sqrt{2})\right]=0$.
Thử lại thấy đúng.
Edited by Kool LL, 21-09-2014 - 20:56.
- tuananh2000 likes this
#6
Posted 20-09-2014 - 00:35
Xác định tất cả các hàm số $f$ từ $R \mapsto R$ sao cho:
$f(\sqrt{2}x) +f((4+3\sqrt{2})2)=2f((2+\sqrt{2})x)$
Đây chính là Vietnam TST 1994 P5, lời giải có thể tham khảo thêm ở tài liệu dưới (tr. 43-44)
Đề bài ở đây khác bài TST 1994 (P.5)
TST 1994 (P.5) : $\boxed{\text{Xác định tất cả các hàm số }f\text{ từ }R \mapsto R\text{ sao cho :} \\ f(\sqrt{2}x) +f((4+3\sqrt{2})x)=2f((2+\sqrt{2})x)}$
Tuy nhiên cả 2 bài cũng khá giống nhau về hình thức đề, nhưng còn cách giải thì hoàn toàn khác nhau.
Nói chung Không biết ý đồ của người lập topic này là gì ???
#7
Posted 20-09-2014 - 13:39
Hoan nghênh sự đóng góp của bạn Kool LL.
Xin giải lại bài này như sau :
Đặt $t=\sqrt{2}x\Rightarrow f(t)+f(8+6\sqrt{2})=2f((1+\sqrt{2})t)$
$\Rightarrow f(x)=2f((1+\sqrt{2})x)-f(8+6\sqrt{2})$ (1)
Đặt $f(8+6\sqrt{2})=p$ (2)
$1)$ Nếu $x=0$
Từ (1) ta có $f(0)=2f(0)-p\Rightarrow f(0)=p$
$2)$ Nếu $x\neq 0$
Khi đó $x$ luôn có thể phân tích một cách duy nhất dưới dạng $x=\alpha (1+\sqrt{2})^k$ trong đó $\alpha$ là số thực thoả mãn $\left | \alpha \right |\in \left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$ và $k$ là số nguyên ($k\in \mathbb{Z}$)
Giả sử $f(x)=q(x)+p$ nếu $\left | x \right |\in \left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$ ($q(x)$ là một hàm nào đó xác định trên $\left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$ và $\left ( -1-\sqrt{2};-1 \right ]$)
Với mọi $\alpha$ thoả mãn $\left | \alpha \right |\in \left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$, ta có : $f(\alpha )=q(\alpha )+p$ (3)
Mặt khác, từ (1) và (3) ta có : $f(\alpha(1+\sqrt{2}) )=\frac{q(\alpha )}{2}+p$ (4)
Từ (1) và (4) lại có : $f(\alpha (1+\sqrt{2})^2)=\frac{q(\alpha )}{2^2}+p$
Tiếp tục lại có $f(\alpha (1+\sqrt{2})^3)=\frac{q(\alpha )}{2^3}+p$
..........................................................
..........................................................
$\Rightarrow f(x)=f(\alpha (1+\sqrt{2})^k)=\frac{q(\alpha )}{2^k}+p$ (5)
Cho $\alpha =4-2\sqrt{2}$ ; $k=3$ ---> $x=8+6\sqrt{2}$, từ (5) ta có :
$f(8+6\sqrt{2})=\frac{q(4-2\sqrt{2})}{2^3}+p$ (6)
(2) và (6) $\Rightarrow q(4-2\sqrt{2})=0$.
Vậy các hàm $f$ thoả mãn ĐK đề bài có dạng :
$f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{q(\alpha )}{2^k}+p\ neu\ x=\alpha (1+\sqrt{2})^k\\p\ neu\ x=0 \end{matrix}\right.$
Trong đó :
$q(x)$ là hàm tuỳ ý, chỉ cần xác định khi $\left | x \right |\in \left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$ và $q(4-2\sqrt{2})=0$
$\alpha$ là số thực thoả mãn $\left | \alpha \right |\in \left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$ và $k\in \mathbb{Z}$
$p$ là số thực tuỳ ý.
Thử lại thấy thoả mãn ĐK đề bài.
Edited by chanhquocnghiem, 20-09-2014 - 22:26.
- tuananh2000 likes this
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#8
Posted 21-09-2014 - 20:51
Hoan nghênh sự đóng góp của bạn Kool LL.
Xin giải lại bài này như sau :
Đặt $t=\sqrt{2}x\Rightarrow f(t)+f(8+6\sqrt{2})=2f((1+\sqrt{2})t)$
$\Rightarrow f(x)=2f((1+\sqrt{2})x)-f(8+6\sqrt{2})$ (1)
Đặt $f(8+6\sqrt{2})=p$ (2)
$1)$ Nếu $x=0$
Từ (1) ta có $f(0)=2f(0)-p\Rightarrow f(0)=p$
$2)$ Nếu $x\neq 0$
Khi đó $x$ luôn có thể phân tích một cách duy nhất dưới dạng $x=\alpha (1+\sqrt{2})^k$ trong đó $\alpha$ là số thực thoả mãn $\left | \alpha \right |\in \left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$ và $k$ là số nguyên ($k\in \mathbb{Z}$)
Giả sử $f(x)=q(x)+p$ nếu $\left | x \right |\in \left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$ ($q(x)$ là một hàm nào đó xác định trên $\left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$ và $\left ( -1-\sqrt{2};-1 \right ]$)
Với mọi $\alpha$ thoả mãn $\left | \alpha \right |\in \left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$, ta có : $f(\alpha )=q(\alpha )+p$ (3)
Mặt khác, từ (1) và (3) ta có : $f(\alpha(1+\sqrt{2}) )=\frac{q(\alpha )}{2}+p$ (4)
Từ (1) và (4) lại có : $f(\alpha (1+\sqrt{2})^2)=\frac{q(\alpha )}{2^2}+p$
Tiếp tục lại có $f(\alpha (1+\sqrt{2})^3)=\frac{q(\alpha )}{2^3}+p$
..........................................................
..........................................................
$\Rightarrow f(x)=f(\alpha (1+\sqrt{2})^k)=\frac{q(\alpha )}{2^k}+p$ (5)
Cho $\alpha =4-2\sqrt{2}$ ; $k=3$ ---> $x=8+6\sqrt{2}$, từ (5) ta có :
$f(8+6\sqrt{2})=\frac{q(4-2\sqrt{2})}{2^3}+p$ (6)
(2) và (6) $\Rightarrow q(4-2\sqrt{2})=0$.
Vậy các hàm $f$ thoả mãn ĐK đề bài có dạng :
$f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{q(\alpha )}{2^k}+p\ neu\ x=\alpha (1+\sqrt{2})^k\\p\ neu\ x=0 \end{matrix}\right.$
Trong đó :
$q(x)$ là hàm tuỳ ý, chỉ cần xác định khi $\left | x \right |\in \left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$ và $q(4-2\sqrt{2})=0$
$\alpha$ là số thực thoả mãn $\left | \alpha \right |\in \left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$ và $k\in \mathbb{Z}$
$p$ là số thực tuỳ ý.
Thử lại thấy thoả mãn ĐK đề bài.
Đúng là mọi $x\neq 0$ luôn có thể phân tích một cách duy nhất dưới dạng $x=\alpha (1+\sqrt{2})^k$ trong đó $\alpha$ là số thực thoả mãn $\left | \alpha \right |\in \left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$ và $k$ là số nguyên ($k\in \mathbb{Z}$).
Nhưng mà, ý bạn ở đây $\alpha$ là hằng số xác định cố định duy nhất và $k$ thay đổi ki $x$ thay đổi? Hay là $\alpha$ và $k$ đều thay đổi khi $x$ thay đổi?
$\boxed{}$ Nếu $\alpha$ là hằng số xác định cố định duy nhất và $k$ thay đổi ki $x$ thay đổi thì sao lại có thề Cho $\alpha =4-2\sqrt{2}$ ; $k=3$ ---> $x=8+6\sqrt{2}$
Còn nếu cố định luôn $\alpha =4-2\sqrt{2}$ thì $k=\log_{1+\sqrt{2}}\left|\frac{x}{\alpha}\right|=\log_{1+\sqrt{2}}\left(\frac{|x|}{4-2\sqrt{2}}\right)$ chưa chắc $k$ sẽ nguyên với mọi $x\in\mathbb{R}^*$ !!!
$\boxed{}$ Còn nếu $\alpha$ và $k$ đều thay đổi khi $x$ thay đổi thì hợp lí hơn. Khi đó $k,\alpha$ được xác định như sau :
với mỗi $x\in\mathbb{R}^*$ :
* $k$ là số mũ nguyên sao cho $1.(1+\sqrt{2})^k\le |x|=|\alpha|.(1+\sqrt{2})^k<(1+\sqrt{2})^{k+1}\Leftrightarrow k\le\log_{1+\sqrt{2}}|x|<k+1\Leftrightarrow k=\left[\log_{1+\sqrt{2}}|x|\right]$
(trong đó $[A]$ nghĩa là phần nguyên của số thực $A$)
* $\alpha=\frac{x}{(1+\sqrt{2})^k}=\frac{x}{(1+\sqrt{2})^{\left[\log_{1+\sqrt{2}}|x|\right]}}$
Từ đó cuối cùng suy ra :
$f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{q\left(\frac{x}{(1+\sqrt{2})^{\left[\log_{1+\sqrt{2}}|x|\right]}}\right)}{2^{\left[\log_{1+\sqrt{2}}|x|\right]}}+p & ,\ \text{nếu }x\ne0\\p & ,\ \text{nếu }x=0 \end{matrix}\right.$
Trong đó :
$q$ là hàm số tuỳ ý xác định trên $(-1-\sqrt{2}\ ;\ -1]\cup\left[1\ ;\ 1+\sqrt{2}\right)$ và thoả $q(4-2\sqrt{2})=0$
$p$ là số thực tuỳ ý.
Nếu đặt $q(x)=(x-4+2\sqrt{2}).h(x),\ \forall x\in (-1-\sqrt{2}\ ;\ -1]\cup\left[1\ ;\ 1+\sqrt{2}\right)$ thì
$f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{\left(\frac{x}{(1+\sqrt{2})^{\left[\log_{1+\sqrt{2}}|x|\right]}}-4+2\sqrt{2}\right).h\left(\frac{x}{(1+\sqrt{2})^{\left[\log_{1+\sqrt{2}}|x|\right]}}\right)}{2^{\left[\log_{1+\sqrt{2}}|x|\right]}}+p & ,\ \text{nếu }x\ne0\\p & ,\ \text{nếu }x=0 \end{matrix}\right.$
Trong đó :
$h$ là hàm số tuỳ ý xác định trên $(-1-\sqrt{2}\ ;\ -1]\cup\left[1\ ;\ 1+\sqrt{2}\right)$
$p$ là số thực tuỳ ý.
- tuananh2000 likes this
#9
Posted 21-09-2014 - 21:33
Ý mình là khi $x$ thay đổi thì $\alpha$ và $k$ cũng thay đổi, và $x$ chỉ có một cách biểu diễn duy nhất dưới dạng $x=\alpha(1+\sqrt{2})^k$ (1)
Và mình cũng đã nhận thấy là $2$ kết quả của chúng ta, nhìn có vẻ khác nhau nhưng thực chất là một, chỉ là $2$ cách thể hiện khác nhau mà thôi.
Thật vậy, khi biểu diễn $x=\alpha (1+\sqrt{2})^k$ trong đó $\left | \alpha \right |\in \left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$ và $k\in \mathbb{Z}$ thì $\alpha$ và $k$ có thể xem là hàm của biến $x$.Để khỏi gây hiểu nhầm $\alpha$ là hằng số, từ đây trở xuống sẽ viết là hàm $\alpha (x)$.
Từ (1) có thể thấy $\alpha (x)$ là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ $1+\sqrt{2}$.
Bây giờ hãy thử biến đổi một chút :
$\left | x \right |^{log_{1+\sqrt{2}}(\frac{1}{2})}=\left ( \left | \alpha(x) \right |(1+\sqrt{2})^k \right )^{log_{1+\sqrt{2}}(\frac{1}{2})}=\frac{\left | \alpha (x) \right |^{log_{1+\sqrt{2}}(\frac{1}{2})}}{2^k}$
Do hàm $\alpha (x)$ là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ $1+\sqrt{2}$ nên hàm $u(x)=\left | \alpha (x) \right |^{log_{1+\sqrt{2}}(\frac{1}{2})}$ cũng là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ $1+\sqrt{2}$
Còn hàm $\varphi (t)$ của bạn là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ $1$ nên suy ra hàm $v(x)=\varphi \left ( log_{1+\sqrt{2}}\left | x \right | \right )$ là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ $1+\sqrt{2}$
Và $\varphi \left ( log_{1+\sqrt{2}}(2\sqrt{2}) \right )=0\Leftrightarrow v(2\sqrt{2})=0\Leftrightarrow v(4-2\sqrt{2})=0$
Vậy khi $x\neq 0$, hàm $f(x)$ của bạn có thể viết gọn thành $\frac{u(x).v(x)}{2^k}+b$
Vì $u(x)$ và $v(x)$ đều là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ $1+\sqrt{2}$ và $v(4-2\sqrt{2})=0$ nên hàm $q(x)=u(x).v(x)$ cũng là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ $1+\sqrt{2}$ và $q(4-2\sqrt{2})=0$
Và do đó $q(x)=q(\alpha)$ (Việc đổi sang biến $\alpha$ thuận tiện hơn vì khi đó ta không cần nói $q(x)$ là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ $1+\sqrt{2}$ nữa mà chỉ cần nói $q(x)$ là hàm tùy ý, chỉ cần xác định khi $\left | x \right |\in \left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$ và $q(4-2\sqrt{2})=0$)
Vậy cuối cùng ta có (khi $x=\alpha(x)(1+\sqrt{2})^k$)
$f(x)=\frac{q(\alpha )}{2^k}+b$
với $q(x)$ là hàm tùy ý, chỉ cần xác định khi $\left | x \right |\in \left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$ và $q(4-2\sqrt{2})=0$
Rõ ràng $2$ kết quả của bạn và mình là như nhau.
Edited by chanhquocnghiem, 22-09-2014 - 15:08.
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users