Chủ đề này có 12 trả lời

[datkjlop9a2hVvMF]

1/Tìm GTLN và GTNN cảu biểu thức:P=$2x^{2}-xy-y^{2}$với x,y thỏa mãn điều kiện sau:$x^{2}+2xy+3y^{2}=4$
2/a;Giải phương trình:$2(x^{2}+2)=5\sqrt{x^{3}+1}$
b;Cho a,b,c$\in \begin{bmatrix}0;2\end{bmatrix}$ và a+b+c=3.Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datkjlop9a2hVvMF: 18-06-2012 - 11:19

[Crystal]

Tìm GTLN và GTNN cảu biểu thức:P=$2x^{2}-xy-y^{2}$với x,y thỏa mãn điều kiện sau:$x^{2}+2xy+3y^{2}=4$

Hướng dẫn:

Xét \[\frac{P}{4} = \frac{{2{x^2} - xy - {y^2}}}{{{x^2} + 2xy + 3{y^2}}} = \dfrac{{2{{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)}^2} - \dfrac{x}{y} - 1}}{{{{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)}^2} + 2\dfrac{x}{y} + 3}} = \dfrac{{2{t^2} - t - 1}}{{{t^2} + 2t + 3}}\,\,\,\left( {t = \frac{x}{y},\,y \ne 0} \right)\]
Dùng phương pháp miền giá trị hay khảo sát hàm để tìm GTLN, GTNN của $\frac{P}{4}$. Từ đó suy ra GTLN, GTNN của $P$.

2/a;Giải phương trình:$2(x^{2}+2)=5\sqrt{x^{3}+1}$

Xem tại đây.

b;Cho a,b,c$\in \begin{bmatrix}0;2\end{bmatrix}$ và a+b+c=3.Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 5$

Hướng dẫn:

Xét $a\left( {a - 2} \right) \le 0 \Rightarrow {a^2} - 2a \le 0 \Rightarrow {a^2} \le 2a$

Tương tự: ${b^2} \le 2b,\,\,\,\,{c^2} \le 2c$

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên lại, ta được:
\[{a^2} + {b^2} + {c^2} \le 2\left( {a + b + c} \right) = 6\]
Ủa sao lạ vậy? Các bạn thấy lời giải có lỗi sai gì???

[thedragonknight]

Hướng dẫn:

Xét $a\left( {a - 2} \right) \le 0 \Rightarrow {a^2} - 2a \le 0 \Rightarrow {a^2} \le 2a$

Tương tự: ${b^2} \le 2b,\,\,\,\,{c^2} \le 2c$

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên lại, ta được:
\[{a^2} + {b^2} + {c^2} \le 2\left( {a + b + c} \right) = 6\]
Ủa sao lạ vậy? Các bạn thấy lời giải có lỗi sai gì???

Anh Thành làm sai rồi. Dấu = ko xảy ra

[Crystal]

Trong lời giải của anh có vấn đề là dấu "=" không xảy ra.

Lời giải chính xác cho bài 3 tại đây.

[thedragonknight]

Phải làm như sau.
Giả sử $a\geq b\geq c$
Suy ra a nằm trong khoảng 1;2
b,c nằm trong khoảng 0;1
ta có $(a-1)(a-2)\leq 0\Rightarrow a^{2}\leq 3a-2$
$b(b-1)\leq 0\Rightarrow b^{2}\leq b$
tương tự $c^{2}\leq c$
cộng từ vế ta đc:
$VT\leq 3a-2+b+c=3+2a-2\le 3+2.2-2=5$
Dấu bằng xảy ra khi (a;b;c)=(2;1;0) và các hoán vị của chúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 20-06-2012 - 09:12
Lỗi $LaTeX$

[datkjlop9a2hVvMF]

3/Tìm tất cả các số hữu tỉ x sao cho giá trị của biểu thức $x^{2}+x+6$ là một số chính phương.

[datkjlop9a2hVvMF]

cho mình biết cách phân tích ntn:$2012=2^2.503$

[thedragonknight]

3/Tìm tất cả các số hữu tỉ x sao cho giá trị của biểu thức $x^{2}+x+6$ là một số chính phương.

Ta có nhận xét sau $x^{2}+x+6$ ko phải là số tự nhiên khi x ko là số nguyên và x hữu tỉ.
Nên x nguyên mới thỏa mãn đề bài
Đặt $x^{2}+x+6=k^{2}$
Xét $x\geq 0$.
Rõ ràng $k^{2}> x^{2}$
Xét hiệu $(x+3)^{2}-k^{2}=5x+3\geq 3> 0$
Suy ra $(x+3)^{2}> k^{2}> x^{2}$
Suy ra $k^{2}=(x+1)^{2}$ hoặc$k^{2}=(x+2)^{2}$
Giải 2 pt ta đc:x=5 và $x=\frac{2}{5}$(loại)
Xét $x< 0$
Xét hiệu $(x-3)^{2}-k^{2}=-7x+3\geq 3> 0$
Suy ra $(x-3)^{2}>k^{2}$
Rõ ràng $(x+\frac{1}{4})^{2}> (x+1)^{2}\Rightarrow (x+\frac{1}{4})^{2}+\frac{23}{4}> (x+1)^{2}+\frac{23}{4}\Rightarrow k^{2}>(x+1)^{2}+\frac{23}{4}$
Từ đó ta có:$(x-3)^{2}> k^{2}> (x+1)^{2}+\frac{23}{4}$
Suy ra $k^{2}=(x-2)^{2}$ ,$k^{2}=(x-1)^{2}$ và $k^{2}=x^{2}$
Giải ra ta đc:$x=-\frac{2}{5}$ ;$x=-\frac{5}{3}$ và x=-6(chọn)
Vậy x=-6;5 thỏa mãn đề


P/s: giải hộc xì dầu luôn.

NLT_CL: Cách giải hơi dài dòng ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 20-06-2012 - 08:34

[wannabeforyou]

Đặt $x=\frac{a}{b};(a,b)=1$
Phương trình tương đương: $a^{2}+ab+6b^{2}=n^{2}b^{2}$
VP chia hết cho b, VT phải chia hết cho b nhưng VT ko chia hết cho b vì (a,b)=1. Nên b=1. Phương trình tương đương với
$a^{2}+a+6=n^{2}$$\Leftrightarrow 4a^{2}+4a+1+23=4n^{2}\Leftrightarrow (2a+1)^{2}+23=4n^{2}$
Đến đây chắc dễ rồi

[ducthinh26032011]

3/Tìm tất cả các số hữu tỉ x sao cho giá trị của biểu thức $x^{2}+x+6$ là một số chính phương.

$x^{2}+x+6=a^{2}$
$x^{2}+x+6-a^{2}=0(1)$
Xét $\Delta =1-4(6-a^{2})=k^{2}$(với $k$ là số hữu tỉ)
$\Leftrightarrow 4a^{2}-k^{2}=23(2)$
Nhận xét:$k$ không thể là phân số vì 23 không phải là phân số
Nên giải phương trình nghiệm nguyên $(2)$,ta được:
$a=6$ hoặc $a=-6$ $\Leftrightarrow a^{2}=36$ thế vào phương trình $(1)$
tính được $x=5$ hoặc $x=-6$

[ckuoj1]

3/Tìm tất cả các số hữu tỉ x sao cho giá trị của biểu thức $x^{2}+x+6$ là một số chính phương.

Đặt $x^{2}+x+6 = k^{2}$
Nhân cả 2 vế biểu thức với 4, ta có $4x^{2}+4x+24 = 4k^{2}$
$\Rightarrow 4k^{2}-(2x+1)^{2} = 23$
$\Rightarrow (2k+2x+1)(2k-2x-1)=23$
Xét các TH ta suy ra được x=-6 hoặc x=5

[wannabeforyou]

Đặt $x^{2}+x+6 = k^{2}$
Nhân cả 2 vế biểu thức với 4, ta có $4x^{2}+4x+24 = 4k^{2}$
$\Rightarrow 4k^{2}-(2x+1)^{2} = 23$
$\Rightarrow (2k+2x+1)(2k-2x-1)=23$
Xét các TH ta suy ra được x=-6 hoặc x=5

k hữu tỉ sao mà mấy cái trong ngoặc kia nguyên được hả bạn

[datkjlop9a2hVvMF]

Hướng dẫn:

Xét \[\frac{P}{4} = \frac{{2{x^2} - xy - {y^2}}}{{{x^2} + 2xy + 3{y^2}}} = \dfrac{{2{{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)}^2} - \dfrac{x}{y} - 1}}{{{{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)}^2} + 2\dfrac{x}{y} + 3}} = \dfrac{{2{t^2} - t - 1}}{{{t^2} + 2t + 3}}\,\,\,\left( {t = \frac{x}{y},\,y \ne 0} \right)\]
Dùng phương pháp miền giá trị hay khảo sát hàm để tìm GTLN, GTNN của $\frac{P}{4}$. Từ đó suy ra GTLN, GTNN của $P$.

anh giải ra thử xem.em thử pp miền giá trị mà ra nghiệm ko đẹp.