Chủ đề này có 2 trả lời

[vubac]

Cho a, b, c là các số dương có tích bằng 1 chứng minh rằng

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}+b^2}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}+c^2}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+a^2}\geqslant \frac{3}{2}$

[viet 1846]

Cho a, b, c là các số dương có tích bằng 1 chứng minh rằng

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}+b^2}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}+c^2}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+a^2}\geqslant \frac{3}{2}$

\[\left( {a;b;c} \right) \to \left( {\frac{1}{{{a^2}}};\frac{1}{{{b^2}}};\frac{1}{{{c^2}}}} \right)\]

Ta có:

\[LHS = \sum {\frac{{{b^4}}}{{a\left( {{b^3} + 1} \right)}}} \ge \frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{a{b^3} + b{c^3} + c{a^3} + a + b + c}} \ge \frac{3}{2}\]

Đúng do

\[\begin{array}{l}
{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} \ge 3\left( {a{b^3} + b{c^3} + c{a^3}} \right)\\
{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} \ge 3abc\left( {a + b + c} \right)
\end{array}\]

[vubac]

Cách của bạn Việt rất hay và khó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vubac: 15-10-2012 - 21:23