Chủ đề này có 1 trả lời

[tranvandung19972012]

Bài 1:Xét số tự nhiên a gồm ít nhất 5 chữ số, đổi chỗ các chữ số của a theo một cách nào đó ta dược số b sao cho: $\left | a-b \right | = 1111....11$ n chữ số 1
Tìm GTNN có thể có của n và chỉ ra một số a, b cụ thể để n nhận giá trị đó

[nguyenta98]

Bài 1:Xét số tự nhiên a gồm ít nhất 5 chữ số, đổi chỗ các chữ số của a theo một cách nào đó ta dược số b sao cho: $\left | a-b \right | = 1111....11$ n chữ số 1
Tìm GTNN có thể có của n và chỉ ra một số a, b cụ thể để n nhận giá trị đó

Giải như sau:
Ta kí hiệu $S(a)$ là tổng các chữ số của $a$
Do đó ta có tính chất $S(a) \equiv a \pmod{9}$ $(1)$
Tương tự $S(b) \equiv b \pmod{9}$ $(2)$
Mặt khác do ta đảo thứ tự các chữ số $a$ được số $b$ do đó $S(a)=S(b)$ $(3)$
Từ $(1)(2)(3) \Rightarrow S(a)-S(b) \equiv |a-b| \pmod{9} \Rightarrow 0 \equiv |a-b| \pmod{9}$
Suy ra $|a-b| \vdots 9$
Do đó $111....1 (\text{n số 1}) \vdots 9 \Rightarrow S(n) \vdots 9 \Rightarrow n \vdots 9$ (do $S(n)=1+1+...+1=n$)
Mà $n \vdots 9 \Rightarrow n\geq 9$
Do đó $n$ đạt GTNN là $9$
Khi ấy $a=987654320$ và $b=876543209$
Vậy $\boxed{n=GTNN=9 \Leftrightarrow |a-b|=987654320-876543209=111111111}$