Chủ đề này có 2 trả lời

[minhson95]

cho a,b,c>0 TM ab+bc+ca=3abc Tìm min của biểu thức sau:

$P=\dfrac{a^2}{c(c^2+a^2)}+\dfrac{b^2}{a(a^2+b^2)}+\dfrac{c^2}{b(b^2+c^2)}$

[viet 1846]

cho a,b,c>0 TM ab+bc+ca=3abc Tìm min của biểu thức sau:

$P=\dfrac{a^2}{c(c^2+a^2)}+\dfrac{b^2}{a(a^2+b^2)}+\dfrac{c^2}{b(b^2+c^2)}$

\[\left( {a;b;c} \right) \to \left( {\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}} \right)\]

Khi đó $x+y+z=3$

và \[\frac{{{a^2}}}{{c({c^2} + {a^2})}} = \frac{{\frac{1}{{{x^2}}}}}{{\frac{1}{z}\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}} \right)}} = \frac{{{z^3}}}{{{x^2} + {z^2}}} = z - \frac{{{x^2}z}}{{{x^2} + {z^2}}} \ge z - \frac{{{x^2}z}}{{2xz}} = z - \frac{x}{2}\]

[duongst007]

cho a,b,c>0 TM ab+bc+ca=3abc Tìm min của biểu thức sau:

$P=\dfrac{a^2}{c(c^2+a^2)}+\dfrac{b^2}{a(a^2+b^2)}+\dfrac{c^2}{b(b^2+c^2)}$

* $\frac{a^{2}}{c(a^{2}+c^{2})} = \frac{1}{c} - \frac{c}{a^{2}+c^{2}}$
$\Rightarrow$ tương tự ta có:
$P = \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-(\frac{c}{c^{2}+a^{2}}+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b}{b^{2}+c^{2}})$
* Áp dụng BĐT cô-si (2 số ở mẫu) :
$P \geq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ kết hợp với giả thiết
$\Rightarrow$ $P \geq \frac{3}{2}$
* Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ a=b=c=1

File gửi kèm

•  GTNN.doc   20K   62 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongst007: 27-06-2012 - 10:18