Chủ đề này có 1 trả lời

[Beautifulsunrise]

Cho n là số tự nhiên chỉ có 2 ước số nguyên tố. Gọi S là tổng tất cả các ước của n.
CMR: S $\neq k.n ~,~k~\epsilon ~N$ và k > 2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 13-07-2012 - 15:58

[nguyenta98]

Cho n là số tự nhiên chỉ có 2 ước số nguyên tố. Gọi S là tổng tất cả các ước của n.
CMR: S $\neq k.n ~,~k~\epsilon ~N$ và k > 2

Giải như sau:
Đặt $n=p^a.q^b$ với $p\neq q$ và $p,q \in \mathbb{P}$
Tổng ước của $p^a$ là $1+p+p^2+...+p^a$
Từ đó suy ra tổng ước của $n=(1+p+p^2+...+p^a)(1+q+q^2+...+q^b)=\dfrac{p^{a+1}-1}{p-1}.\dfrac{q^{b+1}-1}{q-1}$
Giả sử ngược lại $S=kn$ với $k>2$
Suy ra $\dfrac{p^{a+1}-1}{p-1}.\dfrac{q^{b+1}-1}{q-1}=k.p^a.q^b$
$\Rightarrow (p^{a+1}-1)(q^{b+1}-1)=p^a(p-1)q^b(q-1)k=(p^{a+1}-p)(q^{b+1}-q)k$
Do $k\geq 3$ nên $(p^{a+1}-p)(q^{b+1}-q)k\geq \sqrt{3}(p^{a+1}-p).\sqrt{3}.(q^{b+1}-q)$
Ta sẽ cm $\sqrt{3}(p^{a+1}-p)>p^{a+1}-1 \Leftrightarrow 3(p^{a+1}-p)^2>(p^{a+1}-1)^2$
Ta cm $3(p^{a+1}-p)^2>(p^{a+1}-1)^2$ theo quy nạp toán học
Thật vậy thấy $a=1$ tương đương $2p^4+3p^2>2p^3+1$ hiển nhiên do $p\geq 2$
Giả sử đúng đên $a=k$ ta sẽ cm đúng đến $a=k+1$
Thật vậy $3(p^{k+2}-p)^2>(p^{k+2}-1)^2$
Từ GTQN suy ra $3p^2.(p^{k+1}-p)^2>(p^{k+2}-p)^2$
$\Rightarrow 3p^2.(p^{k+1}-p)^2+(p-1)(2p^{k+2}+(p-1))$
Ta cần cm $3(p^{k+2}-p)^2\geq 3p^2.(p^{k+1}-p)^2+(p-1)(2p^{k+2}+(p-1))$
$\Leftrightarrow p^{k+2}(6p^2-8p+2)-(3p^4-2p^2-2p+1)\geq 0$
$\Leftrightarrow p^k.(6p^4-8p^3+2p^2)-(3p^4-2p^2-2p+1)\geq 0$
Nhưng $6p^4-8p^3+2p^2>3p^4-2p^2-2p+1$ for all $p\geq 2$
Do đó hoàn tất cm suy ra tương tự với $q$ từ đó có $kn>S$ vô lí
Vậy ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 21-10-2012 - 13:00