Chủ đề này có 2 trả lời

[kakallatt]

Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1;1;-1), B(1;1;2), C(-1;2;-2) và mặt phẳng (P) có pt: x-2y+2z+1=0. Mặt phẳng ($\alpha$) đi qua A, vuông góc với măt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho IB=2IC. Viết PT mặt phẳng ($\alpha$)

Ai giúp e với. Tks!!

[vantho302]

Bài toán trên sẽ có hai trường hợp như sau:

* Trường hợp 1: Điểm I nằm giữa BC. Khi đó ta có \[\overrightarrow {IB} = - 2\overrightarrow {IC} \]
Ta có: \[\overrightarrow {BC} = \left( { - 2,1, - 4} \right)\]
Phương trình tham số của đường thẳng (BC):
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 - 2t \\
y = 1 + t \\
z = 2 - 4t \\
\end{array} \right.;t \in R\]
Vì điểm I thuộc (BC) nên tọa độ điểm I thỏa: \[I\left( {1 - 2t;1 + t;2 - 4t} \right)\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {IB} = \left( {2t, - t,4t} \right);\overrightarrow {IC} = \left( { - 2 + 2t;1 - t; - 4 + 4t} \right)\]
\[\overrightarrow {IB} = - 2\overrightarrow {IC} \]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2t = 4 - 4t \\
- t = - 2 + 2t \\
4t = 8 - 8t \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow t = \frac{2}{3}\]
\[ \Rightarrow I\left( { - \frac{1}{3};\frac{5}{3}; - \frac{2}{3}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AI} = \left( { - \frac{4}{3};\frac{2}{3};\frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{3}\left( { - 4;2;1} \right)\]
Lại có mặt phẳng (P): \[x - 2y + 2z + 1 = 0\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] nên \[\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{u_\alpha }} = \left( {1; - 2;2} \right)\]
Do đó véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] là \[\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {{u_\alpha }} } \right] = \left( {6;9;6} \right) = 3\left( {2;3;2} \right)\]
Phương trình mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] có dạng:
\[2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 1} \right) + 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y + 2z - 3 = 0\]
* Trường hợp 2: Điểm C nằm giữa B và I nghĩa là C là trung điểm của BI
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = 2{x_C} - {x_B} \\
{y_I} = 2{y_C} - {y_B} \\
{z_I} = 2{z_C} - {z_B} \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow I\left( { - 3;3; - 6} \right)\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \left( {4; - 2;5} \right)\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {6; - 3; - 6} \right) = 3\left( {2; - 1; - 2} \right)\]
Phương trình mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] có dạng:
\[2\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 1} \right) - 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 2z - 3 = 0\]
Vậy ta có hai phương trình mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] thỏa mãn điều kiện trên:
\[2x - y - 2z - 3 = 0\] và \[2x + 3y + 2z - 3 = 0\]

[caovannct]

Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1;1;-1), B(1;1;2), C(-1;2;-2) và mặt phẳng (P) có pt: x-2y+2z+1=0. Mặt phẳng ($\alpha$) đi qua A, vuông góc với măt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho IB=2IC. Viết PT mặt phẳng ($\alpha$)

Ai giúp e với. Tks!!

Bài nầy bạn có thể giải theo cách này:
lập ptts đường thẳng BC$\left\{\begin{matrix} x=1+2t & \\ y=1-t& \\ z=2+4t & \end{matrix}\right.$.Gọi
Gọi I thuộc đt BC nên I(1+2t;1-t;2+4t).
Dựa vào điều kiện IB=2IC. Bạn thiết lập một pt bậc 2 ẩn t, giải ra ta có 2 giá trị của t. Tức là bạn tìm ra tọa độ I.
vec tơ pháp tuyến của ($\alpha$) là $\left [ \vec{n_{P}},\vec{IA} \right ]$
Đến đây bạn có thể lập được ptmp cần tìm
Chúc bạn thành công

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caovannct: 24-06-2012 - 23:42