Chủ đề này có 5 trả lời

[erhin0]

Cho $a, b, c\geq 0$ thỏa mãn không có số nào đồng thời bằng 0
Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{2}+bc}+ \frac{1}{b^{2}+ac}+\frac{1}{c^{2}+ab}\geq \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{ab+bc+ca}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi erhin0: 26-06-2012 - 15:40

[trungdung97]

Giả sử $a\geq b,c$ theo bất đẳng thức Holder ta có
$VT^2\left [(b+c)^3(a^2+bc)+a^3(b^2+ac)+a^2(c^2+ab)\right ]\geq(2a+b+c)^3]$
Suy ra bài toán đã cho đưa về chứng minh
$(2a+b+c)^3(ab+bc+ca)\ge 8(b+c)^3(a^2+bc)+8a^3(b^2+c^2+ab+ac)$
Chuẩn hóa $b+c=1$ suy ra
$(2a+1)^3(a+bc)\geq8(a^2+bc)+8a^3(1-2bc+a)$
$\Leftrightarrow bc\left [(2a+1)^3+16a^3-8\right ]+a(2a+1)^3-8a^2-8a^3(a+1)\ge 0$
Luôn đúng vì $(2a+1)^3\geq(b+c+1)^3=8, a(2a+1)^3-8a^2-8a^3(a+1) =a(a-1)(a-1)+3a^3\geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 28-06-2012 - 22:48

[trungdung97]

Mình sẽ đưa ra bài toán sau khó hơn
Cho a,b,c là các số không âm sao cho không có hai số đồng thời bằng 0.Chứng minh rằng $$\sum \dfrac{1}{\sqrt{a^2+bc}}\geq\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{ab+ac+bc}}+\frac{\sqrt{18}-4}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 28-06-2012 - 16:26

[khanh3570883]

Bất đẳng thức trên liệu có đúng khi thay a = b = c = 3!

[donghaidhtt]

Chuẩn hóa $b+c=1$
$a(2a+1)^3-8a^2-8^3(a+1) =a(a-1)(a-1)+3a^3\geq 0$

Cho mình hỏi tại sao lại chuẩn hóa được như vậy?
Và cái biến đổi bị sai thì phải, a bậc 4 mà?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 28-06-2012 - 22:12

[Tham Lang]

2 bài này nằm trong "Bất đẳng thức và những lời giải hay" của anh Võ Quốc Bá Cẩn và Trần Quốc Anh
Bài thứ nhất là của anh Phạm Kim Hùng
Bài thứ 2 là của anh V.Q.B.C