Chủ đề này có 2 trả lời

[Ispectorgadget]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa $xyz=1$. Chứng minh rằng $$\frac{x^2}{x+y+y^3z}+\frac{y^2}{y+z+z^3x}+\frac{z^2}{x+z+x^3y}\ge1$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 27-06-2012 - 16:49

[nvhmath]

Ta có bất đẳng thức đã cho tương đương (với điều kiện $xyz=1$):
$\sum\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\geq 1$.
Ta có:
$\sum\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\sum x(x^2+xy+y^2)}$
Mà ta cũng có:
$(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)\geq \sum x(x^2+xy+y^2)$ nên $\sum\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\geq \frac{\sum x^2}{\sum x}$ (1)
Từ bất đẳng thức $(x^2+y^2+z^2)^3\geq xyz(x+y+z)^3\Rightarrow \sum\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\geq 1$
Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nvhmath: 27-06-2012 - 17:45

[le_hoang1995]

Ta có bất đẳng thức đã cho tương đương (với điều kiện $xyz=1$):
$\sum\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\geq 1$.

Tới đây còn 1 cách đánh giá khác theo cauchy ngược.
$$\sum\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}=\sum x-\frac{x^2y+y^2x}{x^2+xy+y^2}\geq \sum x-\frac{xy(x+y)}{3xy}$$
$$=\sum x-\frac{x+y}{3}=(x+y+z)-\frac{2(x+y+z)}{3}=\frac{x+y+z}{3}\geq \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{3}=1$$