Chủ đề này có 3 trả lời

[Ispectorgadget]

Tìm phần nguyên của $A$ biết rằng $$A=\sqrt{2}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}}+\sqrt[4]{\frac{4}{3}}+...+\sqrt[2010]{\frac{2010}{2009}}$$

[hxthanh]

Tìm phần nguyên của $A$ biết rằng $$A =\sqrt{2}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}}+\sqrt[4]{\frac{4}{3}}+...+\sqrt[2010]{\frac{2010}{2009}}$$

Bài này "xưa" rồi em!

Ta có: $\sqrt[k]{\dfrac{k}{k-1}} < \dfrac{\dfrac{k}{k-1}+k-1}{k}=1+\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\quad\text{(Theo AM GM)}$

Lấy tổng hai vế BĐT trên từ $k=2$ đến $k=2010$, ta được

$A=\sum\limits_{k=2}^{2010} \sqrt[k]{\dfrac{k}{k-1}}<2009+1-\dfrac{1}{2010}<2010$

Mặt khác dễ thấy $A>2009$ do $\sqrt[k]{\dfrac{k}{k-1}}>1$

Vậy $\lfloor A \rfloor =2009$

[yellow]

Bài này "xưa" rồi em!

Ta có: $\sqrt[k]{\dfrac{k}{k-1}} < \dfrac{\dfrac{k}{k-1}+k-1}{k}=1+\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\quad\text{(Theo AM GM)}$

Lấy tổng hai vế BĐT trên từ $k=2$ đến $k=2010$, ta được

$A=\sum\limits_{k=2}^{2010} \sqrt[k]{\dfrac{k}{k-1}}<2009+1-\dfrac{1}{2010}<2010$

Mặt khác dễ thấy $A>2009$ do $\sqrt[k]{\dfrac{k}{k-1}}>1$

Vậy $\lfloor A \rfloor =2009$

Anh ơi, anh giải thích kĩ hơn chỗ này dùm em được không? Em không hiểu lắm
Ta có: $\sqrt[k]{\dfrac{k}{k-1}} < \dfrac{\dfrac{k}{k-1}+k-1}{k}=1+\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\quad\text{(Theo AM GM)}$
và $\sqrt[k]{\dfrac{k}{k-1}}>1$

[hxthanh]

Áp dụng BĐT AM-GM cho $(k-1)$ số $1$ và $1$ số $\dfrac{k}{k-1}$, ta có

$\dfrac{(1+...+1)_{k-1\;so\;1}+\dfrac{k}{k-1}}{k} > \sqrt[k]{\dfrac{k}{k-1}}$

Không có dấu bằng là bởi vì $1\ne \dfrac{k}{k-1}$