Tìm GTNN vủa biểu thức $P =\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(a+b+c)^{3}}{abc}$ . Trong đó $a, b , c$ là các số thực dương
Tìm GTNN của biểu thức $ P = \frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(a+b+c)^{2}}{abc}$
Bắt đầu bởi tkvn97, 01-07-2012 - 14:58
#2
Đã gửi 01-07-2012 - 22:02
Poseidont
-
- Thành viên
-
- 322 Bài viết
Dark Knight
Bài này bình thường mà
Áp dụng BĐT Cauchy
Ta có
$ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$
$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$
$\Rightarrow P\geq \frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{a^2+b^2+c^2}+\frac{(a+b+c)^2.3\sqrt[3]{abc}}{abc}$
$\Rightarrow P\geq \frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{a^2+b^2+c^2}+\frac{3(a+b+c)^2}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}$
$\Rightarrow P\geq \frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a^2+b^2+c^2}{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}+8.\frac{a^2+b^2+c^2}{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}+\frac{6(ab+bc+ca)}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}$
Đến đây áp dụng Cauchy ta có$Pmin =28$
Áp dụng BĐT Cauchy
Ta có
$ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$
$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$
$\Rightarrow P\geq \frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{a^2+b^2+c^2}+\frac{(a+b+c)^2.3\sqrt[3]{abc}}{abc}$
$\Rightarrow P\geq \frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{a^2+b^2+c^2}+\frac{3(a+b+c)^2}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}$
$\Rightarrow P\geq \frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a^2+b^2+c^2}{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}+8.\frac{a^2+b^2+c^2}{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}+\frac{6(ab+bc+ca)}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}$
Đến đây áp dụng Cauchy ta có$Pmin =28$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Nghia: 01-07-2012 - 22:06
- Secrets In Inequalities VP, ninhxa và DavidVince thích
Nguyễn Đức Nghĩa tự hào là thành viên VMF
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
