Chủ đề này có 2 trả lời

[axe900]

CMR với x,y,z thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ thì ta có:
$\frac{-1}{2}\leq xy+yz+zx\leq 1.$

[Crystal]

CMR với x,y,z thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ thì ta có:
$\frac{-1}{2}\leq xy+yz+zx\leq 1.$

Ta có: \[{\left( {x + y + z} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {xy + yz + zx} \right)\]
\[ \Rightarrow xy + yz + zx = \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}}{2} = \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{2} - \frac{1}{2}\]
Mặt khác, theo BCS: \[0 \le {\left( {x + y + z} \right)^2} \le 3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) = 3\]
Suy ra: \[ - \frac{1}{2} \le xy + yz + zx \le 1 \Rightarrow Q.E.D\]

[nucnt772]

ta cần CM BĐT kép: $\frac{-1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\leq xy+yz+zx\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}$

a) ta có: $\frac{-1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\leq xy+yz+zx$ $\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2zx\geq 0$
$\Leftrightarrow (x+y+z)^{2}\geq 0$ (1)
BĐT (1) luôn đúng nên ta có: $\frac{-1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\leq xy+yz+zx$ (2)

b) Mặt khác, ta có: $xy+yz+zx\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}$
$\Leftrightarrow$ $2xy+2yz+2zx\leq 2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}$
$\Leftrightarrow$ $(x^{2}-2xy+y^{2})$+$(y^{2}-2yz+z^{2})$+$(z^{2}-2zx+x^{2})$$\geq 0$
$\Leftrightarrow$ $(x-y)^{2}$+$(y-z)^{2}$+$(z-x)^{2}\geq 0$ (3)
BĐT (3) luôn đúng nên ta có: $xy+yz+zx\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}$ (4)
từ (2) và (4) $\Rightarrow$ đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nucnt772: 01-07-2012 - 22:01