Chủ đề này có 5 trả lời

[ledangoanh69]

Chứng minh: $\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{2}$.

[henry0905]

Chứng minh: $\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{2}$.

$\Leftrightarrow (a-b)^{2}\geq 0$

[Crystal]

Tổng quát: Cho $a,b>0$. Chứng minh rằng $\frac{{{a^n} + {b^n}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^n}$ với $n$ là số tự nhiên, $n \ge 1$

[nhathongthai123]

$\frac{a^2+b^2}{2}= \frac{2a^2+2b^2}{4}\geq \frac{a^2+2ab+b^2}{4}$

xét hiệu

$\frac{2a^2+2b^2}{4}-\frac{a^2+2ab+b^2}{4}=\frac{a^2-2ab+b^2}{4}=\frac{(a-b)^2}{4}\geq 0 \Rightarrow dpcm$

[Albert einstein vip]

Ta có $\Leftrightarrow \frac{2\left ( a^{2} + b^{2} \right )}{4} \geq \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{4}$
$\Leftrightarrow 2a^{2} + 2b^{2} \geq \left ( a+b \right )^{2}$
$\Leftrightarrow 2a^{2} + 2b^{2} \geq a^{2} + b^{2} +2ab$
$\Leftrightarrow 2a^{2} + 2b^{2} - a^{2} + b^{2} +2ab \geq 0$
$\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} - 2ab \geq 0$
$\Leftrightarrow \left ( a-b \right )^{2} \geq 0$ ( luôn đúng)
đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Albert einstein vip: 04-07-2012 - 10:45

[thedragonknight]

Tổng quát: Cho $a,b>0$. Chứng minh rằng $\frac{{{a^n} + {b^n}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^n}$ với $n$ là số tự nhiên, $n \ge 1$

Bài toán tổng quát của Anh Thành đưa ra ta chỉ cần dùng quy nạp toán học là sẽ làm đc .
Giải như sau.
Xét $n=1$ đúng
Giả sử $n=k$ đúng.Nghĩa là
$\frac{a^k+b^k}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{k}$
Xét $n=k+1$
$\frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{k+1}$
Xét thấy $(\frac{a+b}{2})^{k+1}\leq \frac{a^k+b^k}{2}.\frac{a+b}{2}$ (do giả thiết quy nạp)
Ta chỉ cần chứng minh :
$\frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}\geq \frac{(a^k+b^k)(a+b)}{4}$
Ta dễ dàng chứng minh đc bằng cách xét hiệu.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b$
The problem is slove (ăn cắp bản quyền của chú Thịnh )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thedragonknight: 04-07-2012 - 11:59