Chủ đề này có 1 trả lời

[beontop97]

Cho 4 số hữu tỉ a,b,c,d. Biết rằng căn bậc 3 của d là vô tỉ và $a\sqrt[3]{d^{2}} +b\sqrt[3]{d}=c$. Chứng minh a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi beontop97: 03-07-2012 - 20:35

[nguyenta98]

Cho 4 số hữu tỉ a,b,c,d. Biết rằng căn bậc 3 của d là vô tỉ và $a\sqrt[3]{d^{2}} +b\sqrt[3]{d}=c$. Chứng minh a=b=c

Giải như sau:
TH1: $a=0 \Rightarrow b\sqrt[3]{d}=c$ mà $\sqrt[3]{d}$ là số vô tỉ nên bắt buộc $b=0 \Rightarrow c=0$ nên $a=b=c$ đpcm
TH2: $a\neq 0$

• Nếu $b=0 \Rightarrow a\sqrt[3]{d^2}=c \Rightarrow \sqrt[3]{d^2}=\dfrac{c}{a}$

Vì $c,a,d$ cùng là số hữu tỉ nên $c=\dfrac{x}{y},a=\dfrac{m}{n},d=\dfrac{u}{v}$
Ta có $d^2=\dfrac{c^3}{a^3} \Rightarrow \dfrac{u^2}{v^2}=\dfrac{c^3}{a^3}=\dfrac{(xn)^3}{(ym)^3}$ $(1)$
Đặt $gcd(xn,ym)=s \Rightarrow xn=sp, ym=sq, gcd(p,q)=1$
Thế vào $(1)$ ta có $\dfrac{u^2}{v^2}=\dfrac{p^3}{q^3} \Rightarrow u^2.q^3=p^3.v^2$
Nhận thấy $q^3|VT \Rightarrow q^3|VP=p^3.v^2$ nhưng $gcd(p,q)=1 \Rightarrow q^3|v^2$
Cm tương tự cũng có $p^3|u^2$ mà $u^2.q^3=p^3.v^2 \Rightarrow q^3=v^2$ và $p^3=u^2$
Do đó $q,p$ đều là số chính phương nên $p=k^2,q=h^2$
Suy ra $\dfrac{u^2}{v^2}=\dfrac{k^6}{h^6} \Rightarrow \dfrac{u}{v}=\dfrac{k^3}{h^3} \Rightarrow \sqrt[3]{\dfrac{u}{v}}=\dfrac{k}{h} \Rightarrow \sqrt[3]{d}=\dfrac{k}{h}$ vô lý do $\sqrt[3]{d}$ theo đề bài thì là số vô tỉ

• Nếu $b\neq 0$ suy ra viết lại phương trình $a.(\sqrt[3]{d})^2+b(\sqrt[3]{d})-c=0$

Do đó
$\sqrt[3]{d}=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2+4ac}}{2a}$
$\Rightarrow d=\dfrac{\left(-b\pm \sqrt{b^2+4ac}\right)^3}{8a^3}$
$\Rightarrow (8a^3).d=\pm(4b^2+4ac)\sqrt{4ac+b^2}-12abc-4b^3$
$\Rightarrow \dfrac{(8a^3).d+4b^3+12abc}{4b^2+4ac}=\pm\sqrt{4ac+b^2}$
Mà $a,b,c,d$ hữu tỉ suy ra $\dfrac{(8a^3).d+4b^3+12abc}{4b^2+4ac}$ hữu tỉ suy ra $\pm\sqrt{4ac+b^2}$ hữu tỉ suy ra $\sqrt{4ac+b^2}$ hữu tỉ
Nhưng ta đã chứng minh $\sqrt[3]{d}=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2+4ac}}{2a}$ mà $\sqrt{4ac+b^2}$ hữu tỉ hữu tỉ nên $\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2+4ac}}{2a}$ hữu tỉ
Suy ra $\sqrt[3]{d}$ hữu tỉ vô lý vì điều kiện đề bài $\sqrt[3]{d}$ là số vô tỉ
Vậy $\boxed{a=b=c=0}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 08-07-2012 - 13:19