Chủ đề này có 3 trả lời

[tolaphuy10a1lhp]

1) Cho x, y, z là các số thực dương, Chứng minh:
$\frac{{x + y}}{{xy + {z^2}}} + \frac{{y + z}}{{yz + {x^2}}} + \frac{{z + x}}{{zx + {y^2}}} \leqslant \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}.$

2) Cho a, b, c >0 và a + b + c = 6 Chứng minh rằng:

$\frac{a}{{\sqrt {{b^3} + 1} }} + \frac{b}{{\sqrt {{c^3} + 1} }} + \frac{c}{{\sqrt {{a^3} + 1} }} \geqslant 2$


3) Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng:

$\sqrt {\frac{{{a^3}}}{{{a^3} + {{(b + c)}^3}}}} + \sqrt {\frac{{{b^3}}}{{{b^3} + {{(c + a)}^3}}}} + \sqrt {\frac{{{c^3}}}{{{c^3} + {{(a + b)}^3}}}} \geqslant 1.$

[Ispectorgadget]

Bài 2 và 3 có trong topic này

[Tham Lang]

1) Cho x, y, z là các số thực dương, Chứng minh:
$\frac{{x + y}}{{xy + {z^2}}} + \frac{{y + z}}{{yz + {x^2}}} + \frac{{z + x}}{{zx + {y^2}}} \leqslant \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}.$

2) Cho a, b, c >0 và a + b + c = 6 Chứng minh rằng:

$\frac{a}{{\sqrt {{b^3} + 1} }} + \frac{b}{{\sqrt {{c^3} + 1} }} + \frac{c}{{\sqrt {{a^3} + 1} }} \geqslant 2$


3) Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng:

$\sqrt {\frac{{{a^3}}}{{{a^3} + {{(b + c)}^3}}}} + \sqrt {\frac{{{b^3}}}{{{b^3} + {{(c + a)}^3}}}} + \sqrt {\frac{{{c^3}}}{{{c^3} + {{(a + b)}^3}}}} \geqslant 1.$

Bài 3 cách chứng minh là dùng hệ số bất định, là một cách giải rất hữu hiệu với dạng toán này.
Theo đó, để tránh biến đổi tương đương dài dòng, ta sẽ cm
$\sqrt{\dfrac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}\ge \dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}$
$\Leftrightarrow \left (a^2+b^2+c^2\right )^2\ge a\left [a^3+b^3+c^3+3bc(b+c)\right ]$
$\Leftrightarrow (b^2+c^2)[(a-b)^2+(a-c)^2]+a(b+c)(b-c)^2\ge 0$
Theo đó, tương tự với phần còn lại, cộng vế theo vế suy ra ĐPCM.
Nếu mình làm không nhầm thì còn có :
$\sqrt{\dfrac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}\ge \dfrac{5a-b-c}{3(a+b+c)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 04-07-2012 - 02:08

[Secrets In Inequalities VP]

1) Cho x, y, z là các số thực dương, Chứng minh:
$\frac{{x + y}}{{xy + {z^2}}} + \frac{{y + z}}{{yz + {x^2}}} + \frac{{z + x}}{{zx + {y^2}}} \leqslant \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}.$

BĐT $\Leftrightarrow \sum (\frac{1}{z}-\frac{x+y}{xy+z^{2}})\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{(z-x)(z-y)}{z^{3}+xyz}\geq 0$
Giả sử $x\geq y\geq z$
$\Rightarrow \frac{1}{z^{3}+xyz}\geq \frac{1}{y^{3}+xyz}\geq \frac{1}{x^{3}+xyz}$
Đây là 1 bộ đơn điệu tăng.
Do đó theo BĐT Schur suy rộng thì BĐT ban đầu đúng .