Chủ đề này có 3 trả lời

[nguyenta98]

Cho $H,I,O$ theo thứ tự là trực tâm, tâm nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác bất kì, chỉ ra rằng
$$2IO\geq IH$$
Dấu $=$ xảy ra khi nào

$Geometry - VMO 1993 - problem 4$

P/S tặng mọi người bài này mong thứ lỗi chú ý bài này khó nha, lượng giác loạn xì ngậu lên đó

[perfectstrong]

Có gì mà phải thứ lỗi vậy chú em?
Lời giải:
Ta có công thức sau với $R,r,p$ thứ tự là bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp, nửa chu vi:
$IO^2=R^2-2Rr$
$IH^2=4R^2-p^2+3r^2+4Rr$
Bđt đã cho tương đương với
\[
\begin{array}{l}
4IO^2 \ge IH^2 \\
\Leftrightarrow 4R^2 - 8Rr \ge 4R^2 - p^2 + 3r^2 + 4Rr \\
\Leftrightarrow p^2 \ge 3r^2 + 12Rr\left( 1 \right) \\
\end{array}
\]
Mặt khác
\[
\begin{array}{l}
9IG^2 = p^2 + 5r^2 - 16Rr \ge 0 \\
\Leftrightarrow p^2 + 5r^2 \ge 16Rr \Leftrightarrow p^2 \ge 16Rr - 5r^2 \\
\end{array}
\]
Cho nên, để chứng minh $(1)$, ta chỉ cần chứng minh
\[
\begin{array}{l}
16Rr - 5r^2 \ge 3r^2 + 12Rr \Leftrightarrow 4Rr \ge 8r^2 \Leftrightarrow R \ge 2r \\
\Leftrightarrow R^2 - 2Rr \ge 0 \Leftrightarrow OI^2 \ge 0:True \\
\end{array}
\]
Vậy $(1)$ được chứng minh hay ta có bđt $2IO \ge IH$

[Lnmn179]

$9IG^2 = p^2 + 5r^2 - 16Rr$

Xin lỗi, bạn có thể giải rõ cho mình chỗ này được không. Mình cảm ơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lnmn179: 30-01-2013 - 17:55

[perfectstrong]

Xin lỗi, bạn có thể giải rõ cho mình chỗ này được không. Mình cảm ơn

Bạn có thể chứng minh bằng đẳng thức vecto
$3\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 31-01-2013 - 23:47