Các số a, b, c, d theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng nếu lấy số m sao cho $2m\geq \left | ad-bc \right |$ thì ta có $\forall x$:
$(x-a).(x-b).(x-c).(x-d)+m^{2}\geq 0$
BĐT: (x-a).(x-b).(x-c).(x-d) + m2 $\geq 0$.
Bắt đầu bởi nucnt772, 04-07-2012 - 22:15
#2
Đã gửi 23-07-2012 - 21:30
290iy4072012
-
- Thành viên
-
- 9 Bài viết
Lính mới
Lời giải :
Vì $a,b,c,d$ theo thứ tự lập thành một CSC nên lúc đó :
$\left\{\begin{array}{1}a+c=2b \\b+d=2c \end{array}\right.$
Rút được :$a=2b-c ;d=2c-b $
Lúc đó $ab-bc=(2b-c)(2c-b)-bc=-2(b-c)^2$ nên suy ra $m \ge (b-c)^2$
Nên $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+m^2 \ge (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+(b-c)^4$
Xét tiếp $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=\left [x^2-x(b+c)+bc\right ]\left [x^2-x(a+d)+ad\right ]=\left [x^2-x(b+c)+bc\right ]\left [x^2-x(b+c)+ad\right ]$
Đặt $y=x^2-x(b+c)$ ta cần chứng minh :
$$(y+bc)(y+ad)+(b-c)^2 \ge 0\Leftrightarrow y^2+y(ad+bc)+abcd+(b-c)^4 \ge 0$$
Ta lại có $\Delta =(ad+bc)^2 -4abcd-4(b-c)^4 =(ad-bc)^2 -4(b-c)^4=0$
Suy ra ĐPCM.
Vì $a,b,c,d$ theo thứ tự lập thành một CSC nên lúc đó :
$\left\{\begin{array}{1}a+c=2b \\b+d=2c \end{array}\right.$
Rút được :$a=2b-c ;d=2c-b $
Lúc đó $ab-bc=(2b-c)(2c-b)-bc=-2(b-c)^2$ nên suy ra $m \ge (b-c)^2$
Nên $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+m^2 \ge (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+(b-c)^4$
Xét tiếp $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=\left [x^2-x(b+c)+bc\right ]\left [x^2-x(a+d)+ad\right ]=\left [x^2-x(b+c)+bc\right ]\left [x^2-x(b+c)+ad\right ]$
Đặt $y=x^2-x(b+c)$ ta cần chứng minh :
$$(y+bc)(y+ad)+(b-c)^2 \ge 0\Leftrightarrow y^2+y(ad+bc)+abcd+(b-c)^4 \ge 0$$
Ta lại có $\Delta =(ad+bc)^2 -4abcd-4(b-c)^4 =(ad-bc)^2 -4(b-c)^4=0$
Suy ra ĐPCM.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 290iy4072012: 23-07-2012 - 21:31
- vietfrog yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
