Bài 48:
(nhờ có anh L Lawliet gợi ý mới ra)
Lần lượt kẻ $LL_1 // BB' // KK_1$
Ta có
$\frac{BK_1}{BA'} = \frac{B'K}{B'A'}$
$\frac{KK_1}{BB'} = \frac{KA'}{B'A'}$
$\Rightarrow \frac{BK_1}{KK_1}. \frac{BB'}{BA'} = \frac{B'K}{B'A'}. \frac{B'A'}{A'K}$
$\Rightarrow \frac{BK_1}{KK_1} = \frac{B'K}{A'K}.\frac{BA'}{BB'}$
Mà mặt khác ta cũng có
$\frac{B'K}{A'K} = \frac{CB'}{CA'}$
$\Rightarrow \frac{BK_1}{KK_1} = \frac{CB'}{CA'} . \frac{BA'}{BB'}$
Mà $CB' =\frac{BC.AB}{AB+BC}$
$\frac{BA'}{CA'} = \frac{AB}{AC}$
Đặt $AB=c, BC = a, AC= b$ cho tiện.
$\Rightarrow \frac{BK_1}{KK_1} = \frac{ab}{a+c}.\frac{c}{b}.\frac{1}{BB'}$
Tương tự như thế ta cũng có
$\frac{BL_1}{LL_1}= \frac{ac}{a+c}$
Vậy $\frac{BK_1}{KK_1} = \frac{BL_1}{KK_1}$
Dễ thấy $\angle C'L_1L = \angle A'K_1K$
$\Rightarrow \angle BL_1L = \angle BK_1K$
$\Rightarrow \triangle BL_1L \sim \triangle BK_1K$
$\Rightarrow đpcm$
Đây là bổ đề hay đó