Chủ đề này có 8 trả lời

[Beautifulsunrise]

CMR: chữ số hàng trăm của số $2^{1999}+2^{2000}+2^{2001}$ là một số chẵn.

[nthoangcute]

CMR: chữ số hàng trăm của số $2^{1999}+2^{2000}+2^{2001}$ là một số chẵn.

Cách 1: (Áp dụng Casio)
Ta có: $2^{50}+1=1125899906842625$ chia hết cho $125$
Suy ra $2^{100}-1$ chia hết cho $125$
Suy ra $2^{1999}-2^{99} +2^{99}+2^{49}-2^{49}$ chia hết cho $1000$
Hay $2^{1999}-2^{49}$ chia hết cho $1000$
Mà $2^{49}=562949953421312$ chia cho $1000$ dư $312$
Suy ra $2^{1999}$ chia cho $1000$ dư $-312$
Hay $2^{1999}$ chia cho $1000$ dư $688$
Suy ra $7.2^{1999}$ chia $1000$ dư $816$
Hay $2^{1999}+2^{2000}+2^{2001}$ chia $1000$ dư $816$
Suy ra đpcm

[C a c t u s]

Cách 1: (Áp dụng Casio)
Ta có: $2^{50}+1=1125899906842625$ chia hết cho $125$
Suy ra $2^{100}-1$ chia hết cho $125$
Suy ra $2^{1999}-2^{99} +2^{99}+2^{49}-2^{49}$ chia hết cho $1000$
Hay $2^{1999}-2^{49}$ chia hết cho $1000$
Mà $2^{49}=562949953421312$ chia cho $1000$ dư $312$
Suy ra $2^{1999}$ chia cho $1000$ dư $-312$
Hay $2^{1999}$ chia cho $1000$ dư $688$
Suy ra $7.2^{1999}$ chia $1000$ dư $816$
Hay $2^{1999}+2^{2000}+2^{2001}$ chia $1000$ dư $816$
Suy ra đpcm

Cho em hỏi anh tính bằng máy tính $2^{50}+1$ bằng cách nào vậy ạ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi C a c t u s: 07-07-2012 - 16:38

[nthoangcute]

Cho em hỏi anh tính bằng máy tính $2^{50}+1$ bằng cách nào vậy ạ?

Đã bảo là áp dụng Casio mà !!!

[C a c t u s]

Đã bảo là áp dụng Casio mà !!!

Nhưng em không hiểu ạ

[nthoangcute]

Nhưng em không hiểu ạ

Đây nhé !!!
$2^{50}=(2^{25})^2=(33554432)^2=(33550000+4432)^2$
$=11256025000000+29738720000+19642624$
$=1125899906842624$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 07-07-2012 - 16:47

[nthoangcute]

CMR: chữ số hàng trăm của số $2^{1999}+2^{2000}+2^{2001}$ là một số chẵn.

Cách 2: Chứng minh thuần toán học nhờ ông Euler
Ta biết đến định lý của ông Euler như sau:
Định lý Euler suy hẹp:
Cho $n=p^k$ với $p$ nguyên tố và $k$ nguyên dương và $(a,n)=1$ thì:
$a^{p^{k-1}(p-1)}-1$ chia hết cho $n$
_____________________
Áp dụng với $p=5$ và $k=3$ ta được: $p^{k-1}(p-1)=100$
Suy ra $a^{100}-1$ chia hết cho $125$
Tương tự như cách 1 ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 07-07-2012 - 17:04

[cool hunter]

CMR: chữ số hàng trăm của số $2^{1999}+2^{2000}+2^{2001}$ là một số chẵn.

Tìm số dư khi chia cho 100 = cách xét đồng dư

________________________________________
@hxthanh: Cảnh cáo lần 1: Không spam!

[nthoangcute]

Tìm số dư khi chia cho 100 = cách xét đồng dư

Chia cho 1000 chứ bạn