Chủ đề này có 6 trả lời

[Tham Lang]

Bài toán :
Cho $0\le a,b<1; a+b-ab \ne 0$ Hãy chứng minh ít nhất theo 2 cách bất đẳng thức sau :
$$a^b\ge \dfrac{a}{a+b-ab}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 10-07-2012 - 16:30

[Ispectorgadget]

Áp dụng BĐT bernoulli ta có $$(\frac{1}{a})^b\leq \frac{b}{a}+1-b=\frac{b+a-ba}{a}$$
$$\Rightarrow a^b\geq \frac{a}{a+b-ab}$$

[ducthinh26032011]

Bài toán :
Cho $0\le a,b<1; a+b-ab \# 0$ Hãy chứng minh ít nhất theo 2 cách bất đẳng thức sau :
$$a^b\ge \dfrac{a}{a+b-ab}$$

Em giải thử nhe,anh "mit"
Nếu $a=0$ hoặc $b=0$ thì bđt luôn đúng
Nếu $a,b$ khác 0
Vì $0< a,b<1$ nên,ta đặt:$a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y}(x,y> 1)$
Vậy,bài toán trở thành:
$(\frac{1}{x})^{\frac{1}{y}}\geq \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{xy}}$
$\sqrt[y]{\frac{1}{x}}\geq \frac{y}{x+y-1}\Leftrightarrow \sqrt[y]{x}\leq \frac{x+y-1}{y}(1)$
Ta có:
$\sqrt[y]{x}=\sqrt[y]{x.1.1...1}$ ($(y-1)$ số 1) $\leq \frac{x+1+1+...+1}{y}$($(y-1)$ số 1)$= \frac{x+y-1}{y}$
Vậy $(1)$ đúng
Suy ra:bđt trên luôn đúng.
P/s:Cả đêm qua của em đấy

[Tham Lang]

Em giải thử nhe,anh "mit"
Nếu $a=0$ hoặc $b=0$ thì bđt luôn đúng
Nếu $a,b$ khác 0
Vì $0< a,b<1$ nên,ta đặt:$a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y}(x,y> 1)$
Vậy,bài toán trở thành:
$(\frac{1}{x})^{\frac{1}{y}}\geq \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{xy}}$
$\sqrt[y]{\frac{1}{x}}\geq \frac{y}{x+y-1}\Leftrightarrow \sqrt[y]{x}\leq \frac{x+y-1}{y}(1)$
Ta có:
$\sqrt[y]{x}=\sqrt[y]{x.1.1...1}$ ($(y-1)$ số 1) $\leq \frac{x+1+1+...+1}{y}$($(y-1)$ số 1)$= \frac{x+y-1}{y}$
Vậy $(1)$ đúng
Suy ra:bđt trên luôn đúng.
P/s:Cả đêm qua của em đấy

Rất tiếc là cách của em sai rồi vì $x,y \notin N^*$)Nhưng anh vẫn rất hoan nghênh cách của em Cố gắng lên nhé !

[thedragonknight]

Dùng ý tưởng của bạn ducthinh26032011 xem sao
Đặt $a=\frac{x}{y}(x<y)$ và $b=\frac{u}{v}(u<v)$
Ta cần chứng minh
$\frac{x}{y}^{\frac{u}{v}}\geq \frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y}+\frac{u}{v}-\frac{xu}{yv}}$
Xét $a=0$ hoặc $b=0$. BĐT đúng
Tương đương với:
$\sqrt[v]{\frac{x^u}{y^u}}\geq \frac{xyv}{xyv+vuy-xuv}\Leftrightarrow \frac{x^u}{y^u}\geq \frac{(xyv)^v}{(xyv+vuy-xuv)^v}\Leftrightarrow x^u.(xyv+vuy-xuv)^v-y^u(xyv)^v\geq 0\Leftrightarrow \sqrt[v]{x^{u-v}}(x^2yv+xyuv-x^2uv)\geq \sqrt[v]{y^{u-v}}(xy^2v)$
Thấy rằng $\sqrt[v]{x^{u-v}}> \sqrt[v]{y^{u-v}}$
Chứng minh đc $x^2yv+xyuv-x^2uv\geq xy^2v$ (bằng cách dùng $x<y$ và $u<v$)


p/s:nhìn như cái rừng

[Tham Lang]

Cách giải 2. Sử dụng $AM-GM$ suy rộng, ta có :
$$b.\dfrac{1}{a}+1.(1-b)\ge \dfrac{1}{a^b}.a^{1-b}=\dfrac{1}{a^b}\Leftrightarrow a^b\ge \dfrac{a}{a+b-ab}$$

[ducthinh26032011]

Rất tiếc là cách của em sai rồi vì $x,y \notin N^*$)Nhưng anh vẫn rất hoan nghênh cách của em Cố gắng lên nhé !

Em xin bổ sung nhé.Anh xem có được k.
C/m bổ đề
1)$\sqrt[x]{a}< \sqrt[y]{a}$ với $x> y>1;a> 1$
$(\sqrt[x]{a})^{xy}< (\sqrt[y]{a})^{xy}\Leftrightarrow a^{y}> a^{x}$(đúng)
2)$\frac{a}{b}\leq \frac{a+c}{b+c}$ với $c\geq 0$
Áp dụng vào bài toán,ta đặt:
$y=t+r (t\in Z^{+};0\leq r< 1)$
Khi đó:$\sqrt[y]{x}=\sqrt[t+r]{x}\leq \sqrt[t]{x}= \sqrt[t]{x.1...1}$ ($t-1$ số 1)$\leq \frac{x+t-1}{t}\leq \frac{x+t-1+r}{t+r}$(do $r\geq 0$)$= \frac{x+y-1}{y}$
Vậy,bài toán được chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducthinh26032011: 10-07-2012 - 18:09