Chủ đề này có 11 trả lời

[trangxoai1995]

$x^2+\sqrt{1-2x}+\sqrt{1+2x}\geq 2$

-----------

@ WWW: Xem cách đặt tiêu đề cho bài viết tại đây.

[Crystal]

$x^2+\sqrt{1-2x}+\sqrt{1+2x}\geq 2$

Dùng tính đơn điệu của hàm số vậy.

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
1 - 2x \ge 0\\
1 + 2x \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$

Bất phương trình đã cho trở thành: \[f\left( x \right) = {x^2} + \sqrt {1 - 2x} + \sqrt {1 + 2x} - 2 \ge 0 = f\left( 0 \right)\]
Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]$ và có:
\[f'\left( x \right) = 2x - \frac{1}{{\sqrt {1 - 2x} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + 2x} }}\]
$\bullet \,\,\,x \in \left[ { - \frac{1}{2};0} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) > 0$, suy ra hàm số tăng trên $\left( { - \frac{1}{2};0} \right)$.

Do đó: $\left\{ \begin{array}{l}
- \frac{1}{2} \le x < 0\\
x > 0
\end{array} \right.\,\,\,\left(\text {vô nghiệm} \right)$

$ \bullet \,\,\,x \in \left[ {0;\frac{1}{2}} \right] \Rightarrow f'\left( x \right) \le 0$, suy ra hàm số giảm trên $\left( {0;\frac{1}{2}} \right)$.

Do đó: $\left\{ \begin{array}{l}
0 \le x \le \frac{1}{2}\\
x \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0$

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là $\boxed{x=0}$

[Crystal]

Bạn hãy thử với bài toán đơn giản này nhé.

Giải phương trình: $\mathbf{\sqrt {1 - 2x} - {x^2} = 2 - \sqrt {1 + 2x}} $

Giải càng nhiều cách càng tốt.

[Mai Duc Khai]

Bạn hãy thử với bài toán đơn giản này nhé.

Giải phương trình: $\mathbf{\sqrt {1 - 2x} - {x^2} = 2 - \sqrt {1 + 2x}} $

Giải càng nhiều cách càng tốt.

E "bụp" bài này bằng cách đơn giản nhất
______________________________
Lời giải:
ĐKXĐ:...................................


$\sqrt {1 - 2x} - {x^2} = 2 - \sqrt {1 + 2x}$
$\Leftrightarrow \sqrt {1 - 2x}+\sqrt {1 + 2x}=2+x^2$
$\Leftrightarrow 2+2\sqrt{1-4x^2}=x^4+4x^2+4$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{1-4x^2}=x^4+4x^2+2$
$\Leftrightarrow 4-16x^2=x^8+16x^4+4+8x^6+16x^2+4x^4$
$\Leftrightarrow x^8+8x^6+20x^4+32x^2=0$
$\Leftrightarrow x^2(x^6+8x^4+20x^2+32)=0$
$\Rightarrow $ hoặc $x^2=0 \Leftrightarrow x=0$
hoặc $x^6+8x^4+20x^2+32=0(1)$
Mà ta có: $x^6+8x^4+20x^2+32 \geq 32$ nên $(1)$ vô nghiệm

Kết luận: Vậy phương trình đã cho có nghiệm: $\boxed{x=0}$

P/s: Em giải bài này a đổi tên hiển thị cho em đi

[Crystal]

E "bụp" bài này bằng cách đơn giản nhất
______________________________

Cách này không phải là đơn giản nhất đâu em. Mình đã có kĩ năng, giờ thêm chút kĩ xảo đi em.

[Mai Duc Khai]

Cách này không phải là đơn giản nhất đâu em. Mình đã có kĩ năng, giờ thêm chút kĩ xảo đi em.

Thế thì e làm thêm cách này! cũng đơn giản ko kém
______________________________----
Cách khác:
ĐKXĐ:.............................


$\sqrt{1-2x}-x^2=2-\sqrt{1+2x}$
$\Leftrightarrow 4\sqrt{1-2x}-4x^2=8-4\sqrt{1+2x}$
$\Leftrightarrow 4\sqrt{1-2x}+4\sqrt{1+2x}+1-4x^2-9=0(1)$
Đặt $\sqrt{1-2x}=a\geq 0;\sqrt{1+2x}=b\geq 0(2)$

Khi đó: $(1)\Leftrightarrow 4a+4b+a^2b^2-9=0$
Giải pt trình trên ta được $a=1;b=1$ là thỏa mãn điều kiện.
Thay ngược lại vào $(2)\Rightarrow x=0$
Kết luận: Vậy nghiệm của pt đã cho là: $\boxed{x=0}$

[Crystal]

Thế thì e làm thêm cách này! cũng đơn giản ko kém
______________________________----

Vẫn chưa đơn giản và hay hơn mấy. Tiếp tục chiến đấu!

[vietfrog]

Bạn hãy thử với bài toán đơn giản này nhé.

Giải phương trình: $\mathbf{\sqrt {1 - 2x} - {x^2} = 2 - \sqrt {1 + 2x}} $

Giải càng nhiều cách càng tốt.

Xin làm thử 1 cách:
Phương trình tương đương:\[{{\bf{x}}^{\bf{2}}} + {\bf{2}} - \left( {\sqrt {{\bf{1}} + {\bf{2x}}} + \sqrt {{\bf{1}} - {\bf{2x}}} } \right) = 0\]
Ta thấy: \[{{\bf{x}}^{\bf{2}}} + {\bf{2}} - \left( {\sqrt {{\bf{1}} + {\bf{2x}}} + \sqrt {{\bf{1}} - {\bf{2x}}} } \right) \ge 2 - \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {1 + 2x + 1 - 2x} \right)} = 0\]
Dấu ''='' xảy ra khi $x=0$.
Vậy $x=0$ là nghiệm!

[Dao Van Chanh]

$x \in \left[ { - \frac{1}{2};0} \right] \Rightarrow f'(x) = 2{\rm{x}} - \frac{1}{{\sqrt {1 - 2{\rm{x}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} }} > 0???$

 

Vì sao thế ? Giải thích cái coi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dao Van Chanh: 19-06-2014 - 16:10

[Dao Van Chanh]

 

VÌ SAO : $\left\{ \begin{array}{l}
- \frac{1}{2} \le x < 0\\
x > 0
\end{array} \right.\,\,\,\left(\text {vô nghiệm} \right)$
VÌ SAO :$ \bullet \,\,\,x \in \left[ {0;\frac{1}{2}} \right] \Rightarrow f'\left( x \right) \le 0$

 

Vì sao , giải thích rõ được không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dao Van Chanh: 19-06-2014 - 16:09

[Dao Van Chanh]

 

$x \in \left[ { - \frac{1}{2};0} \right] \Rightarrow f'(x) = 2{\rm{x}} - \frac{1}{{\sqrt {1 - 2{\rm{x}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} }} > 0???

Vì sao như thế ?

[Louis Lagrange]

Bạn hãy thử với bài toán đơn giản này nhé.

Giải phương trình: $\mathbf{\sqrt {1 - 2x} - {x^2} = 2 - \sqrt {1 + 2x}} $

Điều kiện: $\frac{-1}{2}\leq x\leq\frac{1}{2}$

Ta có:

$\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-2x}=x^{2}+2$

VT$\leq \sqrt{2(1+2x+1-2x)}=2$

VP$\geq 2$

Vì vậy VT=VP khi và chỉ khi $x=0$

Phương trình đã cho có nghiệm: $x=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Louis Lagrange: 16-07-2015 - 11:01