Chủ đề này có 12 trả lời

[vancao12]

Có $S_{n}=\frac{\sqrt{3}+S_{n-1}}{1-\sqrt{3}S_{n-1}}$ với n $\geqslant$ 1; cho S₁ = 1. Tính S = S₁ + S₂ + S₃+…+ S₂₀₁₂

_______________________________________________________
@hxthanh: Không khó để nhận ra dãy số trên tuần hoàn với chu kỳ bằng 3 $(S_{n+3}=S_n)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 10-07-2012 - 12:54

[namcpnh]

Bài này mình thư tìm số hạng tổng quát coi.
Đặt $S_{x}=u_{n}+t (t\in \mathbb{R})$
Khi đó ta có:
$u_{n}+t=\frac{\sqrt{3}+u_{n-1}+t}{1-\sqrt{3}u_{n-1}-\sqrt{3}}$

<=>$u_{n}=\frac{\sqrt{3}+u_{n-1}+t-t+\sqrt{3}tu_{n-1}+\sqrt{3}t}{1-\sqrt{3}u_{n-1}-\sqrt{3}}$

<=>$u_{n}=\frac{u_{n-1}(1+\sqrt{3}t)+\sqrt{3}t+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}-\sqrt{3}u_{n-1}}$

Cho $t=-1$ ta có: $u_{n}=\frac{u_{n-1}(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}u_{n-1}+\sqrt{3}-1}$

<=>$\frac{1}{u_{n}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}+\frac{1}{u_{n-1}}$

<=>$\sum_{i=2}^{n}=\sum_{i=1}^{n-1}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}(n-1)$

<=>$\frac{1}{u_{n}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}(n-1)+1$

<=>$u_{n}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}n-1}$

=>$S_{n}=\frac{\sqrt{3}(1-n)}{\sqrt{3}n-1}$

Còn phần tính S bạn tự tính nghe.

[hxthanh]

Bài này mình thư tìm số hạng tổng quát coi.
Đặt $S_{x}=u_{n}+t (t\in \mathbb{R})$
Khi đó ta có:
$u_{n}+t=\frac{\sqrt{3}+u_{n-1}+t}{1-\sqrt{3}u_{n-1}-\sqrt{3}}$

<=>$u_{n}=\frac{\sqrt{3}+u_{n-1}+t-t+\sqrt{3}tu_{n-1}+\sqrt{3}t}{1-\sqrt{3}u_{n-1}-\sqrt{3}}$

<=>$u_{n}=\frac{u_{n-1}(1+\sqrt{3}t)+\sqrt{3}t+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}-\sqrt{3}u_{n-1}}$

Cho $t=-1$ ta có: $u_{n}=\frac{u_{n-1}(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}u_{n-1}+\sqrt{3}-1}$
...

Sai lầm do tính toán rồi !

Với cách đặt $S_n=u_n-1$ thì kết quả phải là
$u_n=\dfrac{u_{n-1}(\sqrt 3 -1)}{\sqrt 3u_{n-1}-\sqrt 3 -1}$

[Crystal]

Để tìm SHTQ của $S_n$ ta có thể sử dụng lượng giác (chỉ mang tính tham khảo đối với topic này)

Ta có: $\tan \dfrac{\pi }{3} = \sqrt 3 $ suy ra ${S_n} = \dfrac{{\tan \dfrac{\pi }{3} + {S_{n - 1}}}}{{1 - \tan \dfrac{\pi }{3}{S_{n - 1}}}}$

Mặt khác: ${S_1} = 1 = \tan \dfrac{\pi }{4}$ suy ra ${S_2} = \dfrac{{\tan \dfrac{\pi }{3} + \tan \dfrac{\pi }{4}}}{{1 - \tan \dfrac{\pi }{3}\tan \dfrac{\pi }{4}}} = \tan \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{\pi }{3}} \right)$

Bằng quy nạp ta chứng minh được: ${S_n} = \tan \left[ {\dfrac{\pi }{4} + \left( {n - 1} \right)\dfrac{\pi }{3}} \right],\,\,\forall n \ge 1$

[hxthanh]

Để tìm SHTQ của $S_n$ ta có thể sử dụng lượng giác (chỉ mang tính tham khảo đối với topic này)

Ta có: $\tan \dfrac{\pi }{3} = \sqrt 3 $ suy ra ${S_n} = \dfrac{{\tan \dfrac{\pi }{3} + {S_{n - 1}}}}{{1 - \tan \dfrac{\pi }{3}{S_{n - 1}}}}$

Mặt khác: ${S_1} = 1 = \tan \dfrac{\pi }{4}$ suy ra ${S_2} = \dfrac{{\tan \dfrac{\pi }{3} + \tan \dfrac{\pi }{4}}}{{1 - \tan \dfrac{\pi }{3}\tan \dfrac{\pi }{4}}} = \tan \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{\pi }{3}} \right)$

Bằng quy nạp ta chứng minh được: ${S_n} = \tan \left[ {\dfrac{\pi }{4} + \left( {n - 1} \right)\dfrac{\pi }{3}} \right],\,\,\forall n \ge 1$

Mít tờ 3 vê kép làm "lộ" đề rồi (Điều đó giải thích tại sao dãy trên lại tuần hoàn)

[Crystal]

Mít tờ 3 vê kép làm "lộ" đề rồi (Điều đó giải thích tại sao dãy trên lại tuần hoàn)

Có cần phải chứng minh dãy tuần hoàn không thầy khi ta dùng quy nạp?

[hxthanh]

Có cần phải chứng minh dãy tuần hoàn không thầy khi ta dùng quy nạp?

Cần gì chứ! Tuần hoàn chỉ là một tính chất thôi mà!
Trong khi em đã CM được bằng quy nạp!
Với lại đề bài yêu cầu tính tổng chứ!

[Crystal]

Cần gì chứ! Tuần hoàn chỉ là một tính chất thôi mà!
Trong khi em đã CM được bằng quy nạp!
Với lại đề bài yêu cầu tính tổng chứ!

Dạ thì đúng là thế nhưng em với công thức tổng quát trên (dạng lượng giác) có hiệu quả trong việc tính tổng không?

Ý của em chỉ là tìm CTTQ cho dãy mà thôi.

[hxthanh]

Tham khảo thôi nhé
$\begin{align} S&=\sum\limits_{k=1}^n \tan\left(\dfrac{\pi}{4}+(k-1)\dfrac{\pi}{3}\right) \\ &=\sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor} \tan\left(\dfrac{\pi}{4}+(3k-1)\dfrac{\pi}{3}\right) +\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n-1}{3}\right\rfloor} \tan\left(\dfrac{\pi}{4}+(3k+1-1)\dfrac{\pi}{3}\right)+\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n-2}{3}\right\rfloor} \tan\left(\dfrac{\pi}{4}+(3k+2-1)\dfrac{\pi}{3}\right) \\ &=\left\lfloor\dfrac{n}{3}\right\rfloor \tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{3}\right)+ \left\lfloor\dfrac{n+2}{3}\right\rfloor \tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right) +\left\lfloor\dfrac{n+1}{3}\right\rfloor \tan\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{3}\right) \\ &=(\sqrt 3 -2) \left\lfloor\dfrac{n}{3}\right\rfloor +\left\lfloor\dfrac{n+2}{3}\right\rfloor -(\sqrt 3 +2) \left\lfloor\dfrac{n+1}{3}\right\rfloor\end{align}$

Thay $n=2012$ vào ...

Được $S=-2011-\sqrt 3$

[namcpnh]

Sai lầm do tính toán rồi !
Với cách đặt $S_n=u_n-1$ thì kết quả phải là
$u_n=\dfrac{u_{n-1}(\sqrt 3 -1)}{\sqrt 3u_{n-1}-\sqrt 3 -1}$

Sorry em thế nhầm u(1)=2 mới phải.Mà sao dạo này em không thấy nút fx nữa vậy?

[CD13]

Phần tính tổng thì........
Thấy WWW tìm số hạng tổng quát theo lượng giác nên gõ thêm bài này để anh em chém theo LG

Đề:
Xét dãy $(u_n)$ được xác định bởi $u_1=a;u_{n+1}=\frac{(\sqrt2+1)u_n-1}{\sqrt2+1+u_n}$ với $n \ge 1$.
Tìm $a$ để $u_{2012}=2012$

Báo THTT

[hxthanh]

$u_{n+1}=\dfrac{(\sqrt 2 +1)u_n-1}{\sqrt 2+1+u_n}=\dfrac{u_n+1-\sqrt 2}{1+(\sqrt 2-1)u_n} $

Để ý rằng: $\tan \dfrac{\pi}{8}=\sqrt 2-1$

Đặt $a=u_1=\tan\alpha$, ta có:

$u_2=\dfrac{u_1+1-\sqrt 2}{1+(\sqrt 2-1)u_1}=\dfrac{\tan\alpha-\tan\dfrac{\pi}{8}}{1+\tan\dfrac{\pi}{8}\tan\alpha}=\tan\left(\alpha-\dfrac{\pi}{8}\right)$
...
bằng quy nạp ta chứng minh được
$u_n=\tan\left(\alpha-(n-1)\dfrac{\pi}{8}\right)$

Do đó: $u_{2012}=\tan\left(\alpha-2011\dfrac{\pi}{8}\right)=\tan\left(\alpha-251\pi-\dfrac{\pi}{2}\right)=-\cot\alpha$

Theo giả thiết thì $-\cot\alpha=-\dfrac{1}{\tan\alpha}=2012$

Suy ra $u_1=a=\tan\alpha=-\dfrac{1}{2012}$

[lehaison_math]

mình thấy bài này là của cấp 3 mà sao lại có ở forum này