Chủ đề này có 10 trả lời

[Crystal]

Problem: Given triangle $ABC$ the point $J$ is the centre of the excircle opposite the vertex $A.$ This excircle is tangent to the side $BC$ at $M$, and to the lines $AB$ and $AC$ at $K$ and $L$, respectively. The lines $LM$ and $BJ$ meet at $F$, and the lines $KM$ and $CJ$ meet at $G.$ Let $S$ be the point of intersection of the lines $AF$ and $BC$, and let $T$ be the point of intersection of the lines $AG$ and $BC.$ Prove that $M$ is the midpoint of $ST.

Bài toán: Cho tam giác $ABC$, gọi $J$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$, đường tròn này tiếp xúc với $BC$ tại $M$ và các tia $AB, AC$ tại $K,L$. Các đường thẳng $LM$ và $BJ$ cắt nhau tại $F$, $KM$ và $CJ$ cắt nhau tại $G$. $S$ là giao điểm của $AF$ và $BC$, $T$ là giao điểm của $AG$ và $BC$. Chứng minh rằng $M$ là trung điểm của $ST$.

[anh qua]

Ta có:
$\widehat{JFM} = \widehat{JGM} = \frac{\widehat{BAC}}{2}$
nên các tứ giác: $ALJF;AKJG$ nội tiếp.
Từ đó dễ dàng suy ra: $G;F$ lần lượt là trung điểm của $AT;AS$
Nên M là trung điểm của $ST$.

[Crystal]

Ta có:
$\widehat{JFM} = \widehat{JGM} = \frac{\widehat{BAC}}{2}$
nên các tứ giác: $ALJF;AKJG$ nội tiếp.
Từ đó dễ dàng suy ra: $G;F$ lần lượt là trung điểm của $AT;AS$
Nên M là trung điểm của $ST$.

Trời. Toán IMO mà lời giải chỉ có vậy thôi sao. Xỉu!

[L Lawliet]

Ta có:
$\widehat{JFM} = \widehat{JGM} = \frac{\widehat{BAC}}{2}$
nên các tứ giác: $ALJF;AKJG$ nội tiếp.
Từ đó dễ dàng suy ra: $G;F$ lần lượt là trung điểm của $AT;AS$
Nên M là trung điểm của $ST$.

Xin post cái hình bài này cho mọi người dễ theo dõi ^^

[BlackSelena]

Sao toán IMO mà ... thế nhỉ.

Ta có:
$\widehat{JFM} = \widehat{JGM} = \frac{\widehat{BAC}}{2}$
nên các tứ giác: $ALJF;AKJG$ nội tiếp.
Từ đó dễ dàng suy ra: $G;F$ lần lượt là trung điểm của $AT;AS$
Nên M là trung điểm của $ST$.

Em chứng minh kĩ phần này hơn để cho các bạn chưa hiểu (giống em lúc đầu ) coi:
Ta có tính chất về đường tròn bàng tiếp như sau
$\frac{\angle A}{2} = 90^o - \angle BJC$
Ta có:
$\angle BFM = \angle JBM - \angle FMB = 90^o - \angle BJM - \angle LMC = 90^o - \angle BJC = \frac{\angle A}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 11-07-2012 - 09:28

[L Lawliet]

Sao toán IMO mà ... thế nhỉ.


Em chứng minh kĩ phần này hơn để cho các bạn chưa hiểu (giống em lúc đầu ) coi:
Ta có tính chất về đường tròn bàng tiếp như sau
$\frac{\angle A}{2} = 90^o - \angle BJC$
Ta có:
$\angle BFM = \angle JBM - \angle FMB = 90^o - \angle BJM - \angle LMC = 90^o - \angle BJC = \frac{\angle A}{2}$

Chứng minh luôn phần trung điểm:
Ta có: $\widehat{FMB}=\widehat{CML}$ (đối đỉnh) và 4 điểm $M$, $C$, $L$, $J$ cùng thuộc một đường tròn nên $\widehat{CML}=\widehat{CJL}$ (cùng chắn cung $CL$). Suy ra:
$$\widehat{FMB}=\widehat{CML}=\widehat{CJL}$$
6 điểm $A$, $F$, $K$, $J$, $L$, $G$ cùng thuộc một đường tròn nên $\widehat{GJL}=\widehat{GAL}$ (cùng chắn cung $GL$)
Nên: $\widehat{ATC}=\widehat{CAT}=\widehat{CJL}$
Do đó: $\widehat{ATC}=\widehat{FMB}$ suy ra $FM//AT$.
Tam giác $ABS$ cân tại $B$ (có đường cao vừa là đường phân giác) nên $F$ là trung điểm của $AS$, suy ra $M$ là trung điểm của $ST$.
___
Cái này BlackSalena bảo làm rõ ra chứ chưa hiểu nên mình làm ra ^^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 11-07-2012 - 11:35

[henry0905]

Ta có:
$\widehat{JFM} = \widehat{JGM} = \frac{\widehat{BAC}}{2}$
nên các tứ giác: $ALJF;AKJG$ nội tiếp.
Từ đó dễ dàng suy ra: $G;F$ lần lượt là trung điểm của $AT;AS$
Nên M là trung điểm của $ST$.

anh cao thủ thật.
C/m G,F trung điểm em mất tới 10', còn anh dễ dàng suy ra
Em c/m rõ hơn nhé:
$\Rightarrow$ 6 điểm A,G,L,J,K,F cùng thuộc 1 đường tròn đường kính AJ
Ta có: $\widehat{FSB}=90^{\circ}-\widehat{FBS}=90^{\circ}-(90^{\circ}-\widehat{BKM})=\widehat{BKM}=\widehat{AFG}$ (cùng chắn cung AG)
$\Rightarrow$ FG//ST
Mà $\widehat{FAB}=\widehat{BJK}=\widehat{AFG}=\widehat{ASB}$
$\Rightarrow$ Tam giác ABS cân tại B $\Rightarrow$ F là trung điểm AS
C/m tương tự được tam giác ACT cân tại C và G là trung điểm AT
Ta có: $\frac{MC}{CT}=\frac{LC}{AC}$ $\Rightarrow$ FM//AT $\Rightarrow$ M là trung điểm ST
P/s: Sao anh qua không dự thi IMO vậy?

[BlackSelena]

Vậy là câu hình IMO đã được giải quyết hoàn toàn .
Up lại cái hình cho dễ coi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 11-07-2012 - 11:57

[perfectstrong]

Spam phát!
Sao đề hình dễ thế nhỉ Bài hình năm ngoái hay hơn mà

[L Lawliet]

Spam phát!
Sao đề hình dễ thế nhỉ Bài hình năm ngoái hay hơn mà

Câu bất đẳng thức cũng được đánh giá dễ rất nhiều anh à (mặc dù em làm không được :">)

[boyhand11]

hôm nay có lẽ đề dễ để mọi người có tâm lý tốt để thi ngày thứ 2 ( có lẽ đè cực khó)