Chủ đề này có 4 trả lời

[minhdat881439]

Cho $x,y \geq 0 ; x^{3}+y^{3}=2$
Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2} \leq 2$
P\s càng nhiều cách càng tốt

[Crystal]

Các bạn tham khảo tại đây nhé.

http://diendantoanho...showtopic=75640


Hãy cùng nhau gửi lên những lời giải mới nào.

[nthoangcute]

Cho $x,y \geq 0 ; x^{3}+y^{3}=2$
Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2} \leq 2$
P\s càng nhiều cách càng tốt

Cách 1:
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương ta được:
$x^3+x^3+1 \geq 3 \sqrt[3]{x^6}=3x^2$
Suy ra $x^2 \leq \frac{2x^3+1}{3}$
Chứng minh tương tự ta được:
$y^2 \leq \frac{2y^3+1}{3}$
Suy ra $x^2+y^2 \leq \frac{2(x^3+y^3)+2}{3}=2$
Cách 2:
Áp dụng BĐT Hölder ta được:
$2(x^3+y^3)^2=(1^3+1^3)(x^3+y^3)(x^3+y^3) \geq (1.x.x+1.y.y)^3=(x^2+y^2)^3$
Suy ra $x^2+y^2 \leq 2$

[Samurott]

Mình làm thế này. Gọi bđt cần chứng minh là (1)
(1)$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{3}\leq 8=2(x^{3}+y^{3})^{2}\Leftrightarrow x^{6}+y^{6}+4x^{3}y^{3}\geq 3x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})$(2)
Áp dụng bđt Cauchy 3 số có $y^{6}+x^{3}y^{3}+x^{3}y^{3}\geq 3y^{4}x^{2}$
$x^{6}+x^{3}y^{3}+x^{3}y^{3}\geq 3x^{4}y^{2}$
Suy ra (2) đúng=> (1) đúng (dpcm)

[minhdat881439]

Chém thêm 3 cách nữa :
C4:$x^{2}+y^{2} \leq 2\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{3}\leq 8=2(x^{3}+y^{3})^{2}\Leftrightarrow x^{6}+3x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})+y^{6}\leq 2(x^{6}+2x^{3}y^{3}+y^{6})\Leftrightarrow x^{6}+y^{6}-3x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})+4x^{3}y^{3}\geq 0\Leftrightarrow x^{3}(x^{3}-3xy^{2}+2y^{3})+y^{3}(y^{3}-3x^{2}y+2x^{3})\geq 0\Leftrightarrow x^{3}(x-y)^{2}(x+2y)+y^{3}(x-y)^{2}(2x+y)\geq 0 (luôn đúng)$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=1$
C5:Theo bất đẳng thức B.C.S
$(x^{2}+y^{2})^{2}=(x^{\frac{1}{2}}x^{\frac{3}{2}}+y^{\frac{1}{2}}y^{\frac{3}{2}})^{2}\leq (x+y)(x^{3}+y^{3})\leq \sqrt{2(x^{2}+y^{2})(x^{3}+y^{3})}\leq 2\sqrt{2(x^{2}+y^{2})} \Rightarrow (x^{2}+y^{2})^{4}\leq 8(x^{2}+y^{2})\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq 2$
C6:Từ $\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}=2 & \\ x,y\geq 0 & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=\sqrt{2-x^{3}} & \\ x\epsilon \left [ 0,\sqrt[3]{2} \right ] & \end{matrix}\right.$
Xét $f(x)=x^{2}+y^{2}=x^{2}+(\sqrt{2-x^{3}})^{2},x\epsilon \left [ 0.\sqrt[3]{2} \right ]$
Đến đây dùng đạo hàm và lập bảng biến thiên $\Rightarrow$ kết quả