2 replies to this topic

[tkvn97]

Bài toán
Cho $\left\{\begin{matrix} y\geq 3 & \\ 3x+2y\geq 12 & \end{matrix}\right.$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = $x^{\sqrt{2}}+y^{\sqrt{2}}$
( Nguồn : Tự chế)

Edited by TRUNGKIEN1997, 11-07-2012 - 20:11.

[WhjteShadow]

Đầu tiên khi nhìn bài này các bạn nên chú ý đến BĐT trung bình lũy thừa:
http://diendantoanho...64
Mà đã có rất nhiều tr0ng các tài liệu.Mình xin nêu lại:
Cho các số thực dương $a_1,a_2,....,a_n$ và $r\geq 1$ ta có:
$$n^r(a_1^r+a_2^r+....+a_n^r)\geq n.(a_1+a_2+....+a_n)^r$$
Dấu = xảy ra khi các biến $a_1,a_2,....,a_n$ bằng nhau
Quay trở lại với bài toán.Đăt $A=x^\sqrt2+y^\sqrt2$ .Từ giả thiết ta có:
$3(x+y)=y+3x+2y\geq 3+12=15\to x+y\geq 5$
Đến đây ta vui mừng áp dụng luôn BĐT trung bình lũy thừa trên thì có ngay:
$$(x^\sqrt2+y^\sqrt2)(2^\sqrt2)\geq 2.(x+y)^\sqrt2\geq 2.5\sqrt2$$
Nhưng thật đáng tiếc.Dấu = đã xảy ra khi $x=y=2,5$(Trái với giả thiết $y\geq 3$)
Nhưng sai lầm trên đã gợi ch0 chúng ta nhớ tới giả thiết $y\geq 3$ và làm thoáng qua ý tưởng sử dụng bđt sa0 ch0 dấu = xảy ra khi $x=2,y=3$.Lúc đó $3x=2y$ và nó sẽ lại 1 lần nữa làm ch0 chúng ta nghĩ tới bđt Trung bình Lũy thừa.Thật vậy áp dụng nó ta có:
$$[(3x)^\sqrt2+(2y)^\sqrt2][2^\sqrt2]\geq 2(3x+2y)^\sqrt2\geq 2.12^\sqrt2$$
$$\Leftrightarrow (3x)^\sqrt2+(2y)^\sqrt2\geq 2.6^\sqrt2$$
Mặt khác ta lại thấy do $y\geq 3$ nên $y^\sqrt2\geq 3^\sqrt2\to (3^\sqrt2-2^\sqrt2)y^\sqrt2\geq (3^\sqrt2-2^\sqrt2)3^\sqrt2=9^\sqrt2-6^\sqrt2$
Cộng 2 bđt trên ta có:
$$3^\sqrt2(x^\sqrt2+y^\sqrt2)\geq 6^\sqrt2+9^\sqrt2$$
$$\Leftrightarrow x^\sqrt2+y^\sqrt2\geq 2^\sqrt2+3^\sqrt2$$
Vậy $A\geq 2^\sqrt2+3^\sqrt2$.Dấu bằng xảy ra khi $x=2,y=3$

Edited by WhjteShadow, 12-07-2012 - 15:39.

[WhjteShadow]

( Nguồn : Tự chế)

=;Trích lời giải trang 390_Những viên kim cương tr0ng bất đẳng thức:
Ta có bất đẳng thức $Benourlli$:
$t^{\alpha}\geq \alpha.t+(1-\alpha)$ với mọi $t>0,\alpha>1$.Dấu bằng xảy ra$\Leftrightarrow t=1$
Thay $t=\frac{u}{u_0}\to (\frac{u}{u_0})^{\alpha}+\alpha-1\geq \alpha.\frac{u}{u_0}$
Từ đó rút ra BĐT:
$$u^{\alpha}+(\alpha-1).u_0^{\alpha}\geq \alpha.u_0^{\alpha-1}.u(**)$$
Từ giả thiết suy ra: $\frac{y}{3}\geq 1,\frac{x}{2}+\frac{y}{3}\geq 2$ Sử dụng bất đẳng thức $Bernoulli(**)$ ta có:
$$x^\sqrt2+(\sqrt2-1)2^\sqrt2\geq \sqrt2.2^(\sqrt2-1)x=\sqrt2\frac{x}{2}.2^\sqrt2$$
và
$$y^\sqrt2+(\sqrt2-1)3^\sqrt2\geq \sqrt2.3^(\sqrt2-1)y=\sqrt2\frac{y}{3}.3^\sqrt2$$
Cộng từng vế 2 BĐT trên ta có:
$x^\sqrt2+y^\sqrt2+(\sqrt2-1)(2^\sqrt2+3^\sqrt2)\geq \sqrt2[2^\sqrt2(\frac{x}{2}+\frac{y}{3})+(3^\sqrt2-2^\sqrt2)y]\geq \sqrt2(2^\sqrt2.2+3^\sqrt2-2^sqrt2)=\sqrt2(3^\sqrt2+2^\sqrt2)$
$\to x^\sqrt2+y^\sqrt2\geq 2^\sqrt2+3^\sqrt2$
Vậy $MinA=2^\sqrt2+3^\sqrt2$ với $x=2,y=3$

Edited by WhjteShadow, 15-07-2012 - 10:42.