9 replies to this topic

[Mai Duc Khai]

Tìm các số nguyên dương thỏa mãn:
\[2(y+z)=x(yz-1)\]

[triethuynhmath]

$<=> xyz-x=2(y+z)<=> xyz=x+2(y+z)<=>\frac{1}{yz}+\frac{2}{xz}+\frac{2}{xy}=1$.
Đến đây không biết có giải được tiếp không nhỉ

[Mai Duc Khai]

$<=> xyz-x=2(y+z)<=> xyz=x+2(y+z)<=>\frac{1}{yz}+\frac{2}{xz}+\frac{2}{xy}=1$.
Đến đây không biết có giải được tiếp không nhỉ

Bạn có thể giải tiếp được ko? Mình vẫn chưa hiểu lắm

[henry0905]

Bạn có thể giải tiếp được ko? Mình vẫn chưa hiểu lắm

Ta có:

$\frac{1}{yz}+\frac{2}{xz}+\frac{2}{xy}=1$
Giả sử $1\leq x\leq y\leq z$
$\Rightarrow 1=\frac{1}{yz}+\frac{2}{xz}+\frac{2}{xy}\leq \frac{5}{x^{2}}$
$\Rightarrow x^{2}\leq 5$
$\Rightarrow x^{2}=1;4$
Tìm được x rồi bạn làm tương tự tìm được y nên tìm được z

@HAIBARA loves ZHAOYUN: $x,y,z$ dương nên loại trường hợp $x^2=0$ em nhé Mà cho chị hỏi sao có thể giả sử $1\leq x\leq y\leq z$ được nhỉ
P/s: Giả sử để đưa các ẩn khác về 1 ẩn cho dễ xử lý và có thể chặn đầu chặn đuôi để tìm giá trị cho dễ hơn.

Edited by henry0905, 16-07-2012 - 15:35.

[BoFaKe]

Ta có:

$\frac{1}{yz}+\frac{2}{xz}+\frac{2}{xy}=1$
Giả sử $1\leq x\leq y\leq z$
$\Rightarrow 1=\frac{1}{yz}+\frac{2}{xz}+\frac{2}{xy}\leq \frac{5}{x^{2}}$
$\Rightarrow x^{2}\leq 5$
$\Rightarrow x^{2}=1;4$
Tìm được x rồi bạn làm tương tự tìm được y nên tìm được z

@HAIBARA loves ZHAOYUN: $x,y,z$ dương nên loại trường hợp $x^2=0$ em nhé Mà cho chị hỏi sao có thể giả sử $1\leq x\leq y\leq z$ được nhỉ
P/s: Giả sử để đưa các ẩn khác về 1 ẩn cho dễ xử lý và có thể chặn đầu chặn đuôi để tìm giá trị cho dễ hơn.

Lập luận như thế chắc là đúng,toàn bộ cặp nghiệm là đây:
$(x;y;z)={(1;3;7),(1;7;3),(3;1;5),(4;1;3),(6;1;2),(2;2;3),(3;5;1),(4;3;1),(6;2;1),(2;3;2)}$
Các bạn tự kiểm chứng nhé.

[bastian schweinsteiger]

Với x=1, PT có dạng $2(y+z)=yz-1\Leftrightarrow (y-2)(z-2)=5$ ta có nghiệm $(x;y;z)=(1;3;7),(1;7;3)$
Giả sử $y\leq z$ Với $x\geq 2$ ta có
$2(y+z)\geq 2(yz-1)\Rightarrow yz-y-z-1\leq 0\Rightarrow (y-1)(z-1)\leq 2$ (3)
nếu $y=1 \Rightarrow 2(1+z)=x(z-1)\Leftrightarrow (x-2)(z-1)=4\Rightarrow (x;y;z)=(3;1;5)=(4;1;3)(6;1;2)$
nếu $y\neq 1\Rightarrow z\neq 1,(3)\Rightarrow y=2\Rightarrow 2(2+z)=x(2z-1)\Leftrightarrow (2z-1)(x-1)=5\Rightarrow (x;y;z)=(2;2;3)$
tương tự xét $z< y$ nên pt có 10 nghiệm $(x;y;z)=(1;3;7),(1;7;3),(3;1;5),(4;1;3),(6;1;2),(2;2;3),(3;5;1),(4;3;1),(6;2;1),(2;3;2)$

[helenkeller9x]

nhưng x,y,z có bình đẳng đâu mà đặt hả chị

[thangthaolinhdat]

LÀM CÁCH KIA VẪN GIẢ SỬ TIẾP Ạ

Edited by thangthaolinhdat, 28-10-2012 - 08:43.

[henry0905]

nhưng x,y,z có bình đẳng đâu mà đặt hả chị

Nếu vậy ta giả sử x max, xét 2 trường hợp: $x\geq y\geq z$ hay $x\geq z\geq y$

[duongduong2406]

Ta có:

$\frac{1}{yz}+\frac{2}{xz}+\frac{2}{xy}=1$
Giả sử $1\leq x\leq y\leq z$
$\Rightarrow 1=\frac{1}{yz}+\frac{2}{xz}+\frac{2}{xy}\leq \frac{5}{x^{2}}$
$\Rightarrow x^{2}\leq 5$
$\Rightarrow x^{2}=1;4$
Tìm được x rồi bạn làm tương tự tìm được y nên tìm được z

@HAIBARA loves ZHAOYUN: $x,y,z$ dương nên loại trường hợp $x^2=0$ em nhé Mà cho chị hỏi sao có thể giả sử $1\leq x\leq y\leq z$ được nhỉ
P/s: Giả sử để đưa các ẩn khác về 1 ẩn cho dễ xử lý và có thể chặn đầu chặn đuôi để tìm giá trị cho dễ hơn.

nhưng trog bài này  x,y,z chưa có vai trò bình đẳng mà.

cách tốt nhất vẫn là đặt x/2 = t hoặc  2y = a, 2z =b