Chứng minh rằng tồn tại vố số $n$ nguyên dương sao cho $n^2+n+1$ là lập phương của 1 số tự nhiên.
$n^2+n+1=k^3$
#1
Đã gửi 23-10-2005 - 19:13
#2
Đã gửi 05-05-2014 - 17:32
Mình giải thế này ko biết có đúng không, nếu sai mong các bác thông cảm! (hơi điên)
Giả sử có hữu hạn số n nguyên dương sao cho $n^{2}+n+1=k^{3}$ là $n_{1},n_{2},...,n_{p}$. Xét tích
$S=(n_{1}^{2}+n_{1}+1)(n_{2}^{2}+n_{2}+1)...(n_{p}^{2}+n_{p}+1)$
$=k_{1}^{3}k_{2}^{3}...k_{p}^{3}$
$=(k_{1}k_{2}...k_{p})^{3}$
là lập phương của một số tự nhiên và không thuộc dãy trên
...............
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SuperReshiram: 05-05-2014 - 17:39
#3
Đã gửi 05-05-2014 - 17:59
Mình giải thế này ko biết có đúng không, nếu sai mong các bác thông cảm! (hơi điên)
Giả sử có hữu hạn số n nguyên dương sao cho $n^{2}+n+1=k^{3}$ là $n_{1},n_{2},...,n_{p}$. Xét tích
$S=(n_{1}^{2}+n_{1}+1)(n_{2}^{2}+n_{2}+1)...(n_{p}^{2}+n_{p}+1)$
$=k_{1}^{3}k_{2}^{3}...k_{p}^{3}$
$=(k_{1}k_{2}...k_{p})^{3}$
là lập phương của một số tự nhiên và không thuộc dãy trên
...............
Không phải hơi điên mà là rất điên ạ, hì hì. Em cần xác định rõ đề yêu cầu cái gì đã, ở đây cần chứng minh là tồn tại số n để cái đó là lập phương của số tự nhiên đã, sau đó cần cm có vô số số như vậy. Làm như em chưa giải quyết đc vấn đề nào cả, đúng không?
Trong bất cứ hoàn cảnh công việc nào, không cúi đầu trước cái ác, không lùi trước hiểm nạn. Nhìn thẳng và đi trên con đường mình đã chọn: con đường mà sự nhẫn nại bao dung là những bước đi tới, hành trang là những ước mơ vô cùng bé nhỏ- chỉ xin làm một cành dương tưới trên cuộc đời đầy rẫy khô khát và bất trắc...
#4
Đã gửi 08-05-2014 - 12:52
Chứng minh rằng tồn tại vố số $n$ nguyên dương sao cho $n^2+n+1$ là lập phương của 1 số tự nhiên.
Lời giải:
Giả sử: $n^{2}+n+1=k^{3} \Leftrightarrow n(n+1)=(k-1)(k^{2}+k+1)$
Do $(n;n+1)=1$ và $(k-1;k^{2}+k+1)=1$ nên ta xét các trường hợp xảy ra:
$\boxed{\text{ TH1:}}$ $n=k-1$ và $n+1=k^{2}+k+1$
$\Rightarrow k^{2}+1=0$ ( loại)
$\boxed{\text{ TH2:}}$ $n=1$ và $n+1=(k-1)(k^{2}+k+1)$
$\Rightarrow k^{3}=3$ ( loại)
Hãy Đánh Bại Những Gì Yếu Đuối Để Biết Rằng
Nỗ Lực Hơn Hẳn Tài Năng
- Nhân Chính -
#5
Đã gửi 08-05-2014 - 20:27
Lời giải:
Giả sử: $n^{2}+n+1=k^{3} \Leftrightarrow n(n+1)=(k-1)(k^{2}+k+1)$
Do $(n;n+1)=1$ và $(k-1;k^{2}+k+1)=1$ nên ta xét các trường hợp xảy ra:
$\boxed{\text{ TH1:}}$ $n=k-1$ và $n+1=k^{2}+k+1$
$\Rightarrow k^{2}+1=0$ ( loại)
$\boxed{\text{ TH2:}}$ $n=1$ và $n+1=(k-1)(k^{2}+k+1)$
$\Rightarrow k^{3}=3$ ( loại)
Sai chỗ này
- mnguyen99 yêu thích
Chuyên Vĩnh Phúc
#6
Đã gửi 08-05-2014 - 20:30
$a b = c d,\ gcd(a, b)=1 \implies \ gcd(c, d) = 1\ $ ? (thử với a = 3, b = 4, c = 2, d = 6)
Lời giải:
Giả sử: $n^{2}+n+1=k^{3} \Leftrightarrow n(n+1)=(k-1)(k^{2}+k+1)$
Do $(n;n+1)=1$ và $(k-1;k^{2}+k+1)=1$ nên ta xét các trường hợp xảy ra:
[...]
Bài này đầu bài sai nên em sẽ không có ý định nghĩ, mà tại sao nó sai thì em không (chưa) chứng minh bằng tay được.
Em có sử dụng sage (những dòng em tô tím là output)
sage: E = EllipticCurve([0,0,1,0,-1]); E
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - 1 over Rational Field
sage: E.integral_points(both_signs=True)
[(1 : -1 : 1), (1 : 0 : 1), (7 : -19 : 1), (7 : 18 : 1)]
Rõ ràng chỉ có hữu tỉ nghiệm thoả mãn.
Đầu bài đúng phải là:
> Chứng minh tồn tại vô số số hữu tỉ $n$ để $n^2 + n + 1$ là lập phương một số hữu tỉ
Chứng minh: Ta dễ thấy là rank của Elliptic Curve (E) là 1 (ở dòng [(1 : -1 : 1), (1 : 0 : 1), (7 : -19 : 1), (7 : 18 : 1)]), hoặc:
sage: E.analytic_rank()
1
Nên tồn tại vô số nghiệm hữu tỉ thoả mãn.
God made the integers, all else is the work of man.
People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.
#7
Đã gửi 08-05-2014 - 20:35
$a b = c d,\ gcd(a, b)=1 \implies \ gcd(c, d) = 1\ $ ? (thử với a = 3, b = 4, c = 2, d = 6)
Lời giải:
Giả sử: $n^{2}+n+1=k^{3} \Leftrightarrow n(n+1)=(k-1)(k^{2}+k+1)$
Do $(n;n+1)=1$ và $(k-1;k^{2}+k+1)=1$ nên ta xét các trường hợp xảy ra:
[...]
Bài này đầu bài sai nên em sẽ không có ý định nghĩ, mà tại sao nó sai thì em không (chưa) chứng minh bằng tay được.
Em có sử dụng sage (những dòng em tô tím là output)sage: E = EllipticCurve([0,0,1,0,-1]); E
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - 1 over Rational Field
sage: E.integral_points(both_signs=True)
[(1 : -1 : 1), (1 : 0 : 1), (7 : -19 : 1), (7 : 18 : 1)]
Rõ ràng chỉ có hữu tỉ nghiệm thoả mãn.
Đầu bài đúng phải là:
> Chứng minh tồn tại vô số số hữu tỉ $n$ để $n^2 + n + 1$ là lập phương một số hữu tỉ
Chứng minh: Ta dễ thấy là rank của Elliptic Curve (E) là 1 (ở dòng [(1 : -1 : 1), (1 : 0 : 1), (7 : -19 : 1), (7 : 18 : 1)]), hoặc:
sage: E.analytic_rank()
1
Nên tồn tại vô số nghiệm hữu tỉ thoả mãn.
Chỗ này sai cho $k=4$ thì UCLN bằng 3 đó
Chuyên Vĩnh Phúc
#8
Đã gửi 08-05-2014 - 20:38
Chỗ này sai cho $k=4$ thì UCLN bằng 3 đó
Anh biết rồi buiminhhieu, ý anh là nk0kckungtjnh làm sai cái đoạn mà em đã chỉ ra mà;
Và cả đầu bài cũng không đúng nữa
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 08-05-2014 - 20:40
God made the integers, all else is the work of man.
People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh