Chủ đề này có 327 trả lời

[CD13]

Đề thi Nghệ An 2011 - 2012
Bài 51: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2+\frac{8xy}{x+y}=16\\ \\\frac{x^2}{8y}+\frac{2x}{3}=\sqrt{\frac{x^3}{3y}+\frac{x^2}{4}}-\frac{y}{2}

\end{matrix}\right.$

[tranghieu95]

Đề thi Nghệ An 2011 - 2012
Bài 51: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2+\frac{8xy}{x+y}=16 (1) \\
\\\frac{x^2}{8y}+\frac{2x}{3}=\sqrt{\frac{x^3}{3y}+\frac{x^2}{4}}-\frac{y}{2} (2)

\end{matrix}\right.$

ĐK: $y \ne 0; x+y \ne 0$
$(2) \Leftrightarrow \dfrac{x^2}{8y}+\dfrac{4x+3y}{6}=2.\sqrt{\dfrac{x^2}{8y}.\dfrac{4x+3y}{6}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{x^2}{8y}=\dfrac{4x+3y}{6} $
$\Leftrightarrow x=6y$ hoặc $x=-\dfrac{2}{3}y (3)$
$(1) \Leftrightarrow (x^2+y^2)(x+y)+8xy=16(x+y)$
$\Leftrightarrow (x+y)^3-2xy(x+y)-16(x+y)+8xy=0$
$\Leftrightarrow (x+y-4)(x^2+y^2+4x+4y)=0$
Kết hợp $(3)$ ta sẽ tìm đc kết quả

[CD13]

Bài 51: $a+b=2\sqrt{ab} \leftrightarrow a=b$ Em cần một đánh giá chặt hơn chứ!

Bài 52: (HSG Nam Định 2008 - 2009)
Cho phương trình $x^3-3x^2+1=0$
Chứng minh rằng phương trình có ba nghiệm phân biệt $x_1,x_2,x_3$.
Giả sử $x_1<x_2<x_3$, chứng minh: $|x_1|<x_2$ và $(2-x_1)(2+x_2)(2+x_3)>27$

[minhdat881439]

Bài này bạn làm thế này là chưa chặt chẽ, mà có thể coi là sai.

1) Hệ hoán vị vòng quanh nếu bạn giả sử theo thứ tự thì phải xét 2 TH:

TH1: $x \ge y \ge z$

TH2: $x \ge z \ge y$

Mà nói chung ta chỉ có thể giả sử số nào là min, hoặc số nào là max.

2) Hàm số của vế trái đề bài $f(t)=2t^3-3t^2-18$ đâu có phải đơn điệu hoàn toàn trên $\mathbb{R}$ đâu?

- Mình nghĩ mấy bài này cần xem xét lại về phần tư duy, lập luận.




Mình thấy đề 30/4 cho kiểu lắt léo, đánh đố lắm, có lẽ chúng ta nên lựa chọn khi cho đề 30/4 vào

Mình cũng thấy vậy đây là lời giải cho bài 44:
Đặt $f(t)=2t^{3}+3t^{2}-18 ;g(t)=t^{3}+t$
Khi đó hệ pt
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)=g(y) & \\ f(y)=g(z) & \\ f(z)=g(x) & \end{matrix}\right.$
Giả sử x=max(x,y,z) thì $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq y\Rightarrow g(x)\geq g(y) & \\ x\geq z\Rightarrow g(x)\geq g(z) & \\ \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} g(x)\geq f(x) & \\ g(z)\leq f(z) & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{3}+x\geq 2x^{3}+3x^{2}-18 & \\ z^{3}+z\leq 2z^{3}+3z^{2}-18 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-2)(x^{2}+5x+9)\leq 0 & \\ (z-2)(z^{2}+5z+9)\geq 0 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 2 & \\ z\geq 2 & \end{matrix}\right.$
Suy ra $2\leq z\leq x\leq 2\Rightarrow x=z=2$
Thế vào hệ pt ta được y=2
Vậy x=y=z=2 (thỏa mãn)

[T M]

Bài 53. Giải phương trình

$$2\left ( x-2 \right )\left ( \sqrt[3]{x+5}+2\sqrt{2x-5} \right )=3x-1$$

Bài 54. Giải bất phương trình

$$x^3-3x^2+2\sqrt{\left ( x+2 \right )^3}-6x \geq0$$

Đề thi HSG Nghệ An - 2011 - Vòng 1

----------------------

Còn bài 52 nữa nhé !

[CD13]

Bài 53. Giải phương trình
$$2\left ( x-2 \right )\left ( \sqrt[3]{x+5}+2\sqrt{2x-5} \right )=3x-1$$

Bài này có vẻ dễ nhỉ!
Điều kiện $x\ge \frac{5}{2}$, phương trình viết lại:

$ 2(\sqrt[3]{x+5}+2\sqrt{2x-5})=\frac{3x-1}{x-2}$

Dễ thấy VT là hàm tăng, VP là hàm giảm và.............$x=3$ là nghiệm phương trình!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 18-07-2012 - 10:49

[Gioi han]

Bài 54. Giải bất phương trình

$$x^3-3x^2+2\sqrt{\left ( x+2 \right )^3}-6x \geq0$$ $(1)$

Đề thi HSG Nghệ An - 2011 - Vòng 1

----------------------

$ĐK:x\geq -2$
Ta co : $(1)\Leftrightarrow x^{3}+6x^{2}+12x+8+2\sqrt{(x+2)^{3}}+1-9x^{2}-18x-9\geq0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{(x+2)^{3}}+1)^{2}-3(x+1)^{2}\geq 0$
$\Leftrightarrow \sqrt{(x+2)^{3}}+1\geq 3(x+1)$
hoac
$\Leftrightarrow \sqrt{(x+2)^{3}}+1\leq - 3(x+1)$
...........................
P/s:Tối rảnh sẽ làm tiếp.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 18-07-2012 - 17:07

[T M]

Bài 55. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
9^x-4^y=17 & & \\
log_{17}\left ( 3^x+2^y \right )-log_5\left ( 3^x-2^y \right )=1 & &
\end{matrix}\right.$$

Đề thi HSG Khối 12 - Huế - 09/10

Bài 56. Giải phương trình

$$sin^3x+cos^4x=1$$

Đề thi HSG khối 12 - Huế - 2008

------------------------

Thầy CD13 post lời giải bài 52 được không ạ

------------------------

Trong thời gian tới mình có việc chắc không ol được nhiều, mọi người tham gia nhiệt tình lên nhé !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 18-07-2012 - 19:56

[minhdat881439]

Đề thi HSG Khối 12 - Huế - 09/10
Bài 56. Giải phương trình
$$sin^3x+cos^4x=1$$
Đề thi HSG khối 12 - Huế - 2008
------------------------

pt $\Leftrightarrow sin^{3}x+cos^{4}x=sin^{2}x+cos^{2}x\Leftrightarrow sin^{2}x(1-sinx)+cos^{2}x(1-cos^{2}x)=0$
mà $sin^{2}x(1-sinx)\geq 0;cos^{2}x(1-cos^{2}x)\geq 0$
Do đó ta có
$\left\{\begin{matrix} sin^{2}x(1-sinx)= 0& \\ cos^{2}x(1-cos^{2}x)=0 & \end{matrix}\right. \Rightarrow \begin{bmatrix} sinx=0 & \\ sinx=1 & \end{bmatrix}$
Vậy nghiệm của phương trình $x=k\Pi ;x=\frac{\Pi }{2}+2k\Pi,k\epsilon \mathbb{Z}$

[NGOCTIEN_A1_DQH]

Bài 55. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
9^x-4^y=17 & & \\
log_{17}\left ( 3^x+2^y \right )-log_5\left ( 3^x-2^y \right )=1 & &
\end{matrix}\right.$$

Đề thi HSG Khối 12 - Huế - 09/10

Bài 56. Giải phương trình

$$sin^3x+cos^4x=1$$

Đề thi HSG khối 12 - Huế - 2008

------------------------

Thầy CD13 post lời giải bài 52 được không ạ

------------------------

Trong thời gian tới mình có việc chắc không ol được nhiều, mọi người tham gia nhiệt tình lên nhé !

bài 55: đặt $ 3^x+2^y=a; 3^x-2^y=b $ thì hệ trở thành:

$\left\{\begin{matrix} ab=17 & \\ log_{17}a-log_5b=1 & \end{matrix}\right.$

từ PT(1) suy ra: $ a=\frac{17}{b}$. thay vào PT(2) ta dc:

$ (2) \Leftrightarrow log_{17}{17}-log_{17}b-log_5b=1 $

$ \Leftrightarrow log_{17}b+log_5b=0 $

vì $ log_{17}b $ và $ log_5b $ luôn cùng dấu nên điều này có dc khi và chỉ khi $ b=1 $

............dễ suy ra nghiệm của PT là $ (2;3) $

p/s: bài 56 có thể dựa vào điều kiện $ sinx,cosx \in [-1;1] $ để đánh giá được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGOCTIEN_A1_DQH: 18-07-2012 - 21:52

[T M]

Chậc chậc, bận quá không có time search đề

Tiếp tục nào !

Bài 57. Giải phương trình

$$-2x^3+10x^2-17x+8=2x^2\sqrt[3]{5x-x^3}$$

Đề thi HSG tỉnh Bình Định - 09/10

Bài 58. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
9y^3(3x^3-1)=-125 & & \\ 45x^2y+75x=6y^2
& &
\end{matrix}\right.$$

Đề thi HSG tỉnh Đồng Tháp 09/10

[hoangtrong2305]

Bài 56. Giải phương trình

$$sin^3x+cos^4x=1$$

Đề thi HSG khối 12 - Huế - 2008

Một cách khác cho bài này

$\sin^3x+\cos^4x=1$

$\Leftrightarrow \sin^3x+(1-\sin^{2}x)^{2}=1$

$\Leftrightarrow \sin^{4}x+\sin^3x-2\sin^{2}x+1=1$

$\Leftrightarrow \sin^{4}x+\sin^3x-2\sin^{2}x=0$

$\Leftrightarrow \sin^{2}x(\sin^{2}x+\sin x-2)=0$

$\Leftrightarrow \sin^{2}x(\sin x-1)(\sin x+2)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \sin x=0\\ \sin x=1\\ \sin x=-2\, \, (false) \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{bmatrix}$ ($k \in \mathbb{Z}$)

[ninhxa]

Bài 58. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
9y^3(3x^3-1)=-125 & & \\ 45x^2y+75x=6y^2
& &
\end{matrix}\right.$$

Đề thi HSG tỉnh Đồng Tháp 09/10

-Công nhận mình có duyên với đề đồng tháp thật
-Nhận thấy $y\neq 0$ nên hệ phương trình tương đương với:
$\left\{\begin{matrix}6y^3(3x^3-1)=\frac{-250}{3} \\45x^3y^3+75xy=6y^3 \end{matrix}\right.$
-Trừ vế với vế ta dc:
$18x^3y^3-45x^2y^2-75xy+\frac{250}{3}=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}xy=\frac{-5}{3} \\ xy=\frac{10}{2} \\ xy=\frac{5}{6} \end{bmatrix}$
-Thay xy trên vào pt (1) ta tìm dc y sau đó là x.
-Hệ phương trình có các nghiệm là: $(x;y)=\left ( \frac{2}{3};5 \right );\left ( \frac{1}{3} ;\frac{5}{2}\right )$

[minhdat881439]

Chậc chậc, bận quá không có time search đề
Tiếp tục nào !
Bài 57. Giải phương trình
$$-2x^3+10x^2-17x+8=2x^2\sqrt[3]{5x-x^3}$$
Đề thi HSG tỉnh Bình Định - 09/10

Chém thôi :
Dễ thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình chia cả hai vế cho $x^{3}$ ta được:
$-2+\frac{10}{x}-\frac{17}{x^{2}}+\frac{8}{x^{3}}=2\sqrt[3]{\frac{5}{x^{2}}-1}$
Đặt $t=\frac{1}{x};t\neq 0$
$\Leftrightarrow 8t^{3}-17t^{2}+10t-2=2\sqrt[3]{5t^{2}-1}$
$\Leftrightarrow (2t-1)^{3}+2(2t-1)=5t^{2}-1+2\sqrt[3]{5t^{2}-1}$
Xét hàm số $ f(x)=x^{3}+2x \Rightarrow f'(x)=3t^{2}+2> 0$ suy ra hàm số f tăng trên R.
$f(2t-1)=f(\sqrt[3]{5t^{2}-1})\Leftrightarrow 2t-1=\sqrt[3]{5t^{2}-1}\Leftrightarrow 8t^{3}-12t^{2}+6t-1=5t^{2}-1$
Giải ra ta được t=0 (loại) $t=\frac{17\pm \sqrt{97}}{16}\Rightarrow x=\frac{16}{17\pm \sqrt{97}}$
Vậy...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhdat881439: 19-07-2012 - 15:19

[NGOCTIEN_A1_DQH]

tiếp tục:
bài 59: giải PT:
$$ log_{2+\sqrt{5}}(x^2-2x-11)=log_{2\sqrt{2+\sqrt{5}}}(x^2-2x-12) $$

thừa thiên huế 2002-2003

bài 60: giải PT:

$$ ln(x+1)^{2(x+1)}=x^2+2x $$

đề kiểm tra đội tuyển THPT đặng thúc hứa-nghệ an 2010-2011

[minhdat881439]

Chậc chậc, bận quá không có time search đề
Bài 58. Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix}
9y^3(3x^3-1)=-125 & & \\ 45x^2y+75x=6y^2
& &
\end{matrix}\right.$$
Đề thi HSG tỉnh Đồng Tháp 09/10

Lời giải khác cho bài này (nguồn boxmath)

Lời giải:
*)$y=0$ không phải là nghiệm của hệ phương trình
*)$y$ khác $0$,chia phai vế pt$(1)$ cho $y^3$,pt$(2)$ cho $y^2$,ta được:
$$\begin{cases} 27x^3+\frac{125}{y^3}=9 \\ 45\frac{x^2}{y}+75\frac{x}{y^2}=6 \end{cases}$$
hay $$\begin{cases} (3x)^3+(\frac{5}{y})^3=9 \\ (3x)^2\frac{5}{y}+3x(\frac{5}{y})^2=6 \end{cases}$$
Đặt: $\begin{cases} a=3x \\ b=\frac{5}{y} \end{cases}$,hệ trở thành :
$$\begin{cases} a^3+b^3=9 \\ ab(a+b)=6 \end{cases}$$
Đến đây dễ rồi

[T M]

Thêm 1 bài nữa

Bài 61. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
2+6y=\frac{x}{y}-\sqrt{x-2y} & & \\\sqrt{x+\sqrt{x-2y}} =x+3y-2
& &
\end{matrix}\right.$$

Đề thi HSG Hải Phòng - 2011/2012

[NGOCTIEN_A1_DQH]

Thêm 1 bài nữa

Bài 61. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
2+6y=\frac{x}{y}-\sqrt{x-2y} & & \\\sqrt{x+\sqrt{x-2y}} =x+3y-2
& &
\end{matrix}\right.$$

Đề thi HSG Hải Phòng - 2011/2012

làm luôn bài này:

$ PT(1) \Leftrightarrow x-2y-y\sqrt{x-2y}-6y^2=0 $

$ \Leftrightarrow \sqrt{x-2y}=3y \vee \sqrt{x-2y}=-2y $

TH1: $ \sqrt{x-2y}=3y $, thay vào PT (2) và đặt $ \sqrt{x+3y}=t $ ta được:

$ t=t^2-2 $

dễ dàng giải tiếp PT này cũng như TH còn lại là $ \sqrt{x-2y}=-2y $

[T M]

làm luôn bài này

Anh Tiến hăng say quá nhỉ

----

Tiếp nhỉ

Bài 62. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
2(y^3-x^2)=6x^2+7x-y+3 & & \\
2\sqrt{3-y}+\sqrt{2(y+1)}=\sqrt{\frac{9}{4}x^2+4} & &
\end{matrix}\right.$$

Thi chọn đội tuyển Chuyên Thái Bình - Ngày 2.

P/S: bài này thực ra mình đã post 1 thời gian rồi, mà vẫn đưa vào đây cho nó đồng bộ, lúc tìm cho dễ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 20-07-2012 - 19:50

[minhdat881439]

Anh Tiến hăng say quá nhỉ

----

Tiếp nhỉ

Bài 62. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
2(y^3-x^2)=6x^2+7x-y+3 & & \\
2\sqrt{3-y}+2\sqrt{2(y+1)}=\sqrt{\frac{9}{4}x^2+4} & &
\end{matrix}\right.$$

Thi chọn đội tuyển Chuyên Thái Bình - Ngày 2.

P/S: bài này thực ra mình đã post 1 thời gian rồi, mà vẫn đưa vào đây cho nó đồng bộ, lúc tìm cho dễ

Đề sai kìa phải là $$\left\{\begin{matrix}
2(y^3-x^3)=6x^2+7x-y+3 & & \\
2\sqrt{3-y}+2\sqrt{2(y+1)}=\sqrt{\frac{9}{4}x^2+4} & &
\end{matrix}\right.$$

Điều kiện: $y \epsilon \left [ -1;3 \right ]$
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta suy ra được
$2{y^3} + y = 2{(x + 1)^3} + (x + 1)$
$f(t) = 2{t^3} + t có f'(t) = 6{t^2} + 1 > 0,\forall t \in \mathbb{R}$ do đó hàm số f(t) đồng biến trên$\mathbb{R}$
$\Rightarrow f(y)=f(x+1)\Leftrightarrow y=x+1$ thay vào phương trình 2 ta được...
p\s tới đó thì ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhdat881439: 20-07-2012 - 10:21