Chủ đề này có 2 trả lời

[PynkBoo]

1. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, $\widehat{BAD}=60^{\circ}$. $\triangle SBC$ cân tại S. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên (ABCD) nằm trên đường thẳng AC. (SCD) tạo với đáy góc $60^{\circ}$. Tính thể tích hình chóp SABCD và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD và SC.

2. Cho 2 hình chóp SABCD và S'ABCD có chung đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Hai đỉnh S và S' nằm về cùng 1 phía đối với mặt phẳng (ABCD), có hình chiếu vuông góc lên đáy lần lượt là trung điểm H của AD và trung điểm K của BC. Tính thể tích phần chung của 2 hình chóp biết SH=SK'=h

Mọi người giúp mình giải 2 bài này nha Thanks

[hoangtrong2305]

1. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, $\widehat{BAD}=60^{\circ}$. $\triangle SBC$ cân tại S. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên (ABCD) nằm trên đường thẳng AC. (SCD) tạo với đáy góc $60^{\circ}$. Tính thể tích hình chóp SABCD và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD và SC.

Giả sử $F$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ ($F \in AC$)

$\Rightarrow SF\perp (ABCD)$

$\Rightarrow SF\perp BC$ (1)

Có $\Delta SBC$ cân tại $S$, gọi $I$ trung điểm $BC$

$\Rightarrow SI\perp BC$ (2)

$(1);(2)\Rightarrow FI\perp BC$

$(1);(2)\Rightarrow FI=IC.\tan 30^{o}=\frac{a}{2}.\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

Trong $(ABCD)$, từ $F$ kẻ $FH\perp CD$ ($H \in CD$)

Xét $\Delta CIF$ vuông tại $I$ và $\Delta CHF$ vuông tại $F$

$\left\{\begin{matrix} CF\, \, \, chung\\ \widehat{ICF}=\widehat{FCH}=30^{o} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \Delta CIF = \Delta CHF$

$\Rightarrow FI=FH=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

$\Rightarrow SF=FH.\tan 60^{o}=\frac{a\sqrt{3}}{6}.\sqrt{3}=\frac{a}{2}$

$S_{ABCD}=\frac{1}{2}.AC.BD=\frac{1}{2}.a.a\sqrt{3}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.S_{ABCD}.SF=\frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}.\frac{a}{2}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}$


Có $AD//BC\Rightarrow AD//(SBC)$

$\Rightarrow d(AD;BC)=d[AD;(SBC)]=d(D;(SBC))$

$S_{\Delta BCD}=\frac{1}{2}.CO.BD=\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

$\Rightarrow V_{S.BCD}=\frac{1}{3}.S_{\Delta BCD}.SF=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{16}$

$Pitago$ tính $SI=\sqrt{SF^{2}+FI^{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow S_{\Delta SBC}=\frac{1}{2}.SI.BC=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{6}$

$\Rightarrow d(D;(SBC))=\frac{3V_{S.BCD}}{S_{\Delta SBC}}=\frac{9a}{8}$

[hoangtrong2305]

2. Cho $2$ hình chóp $S.ABCD$ và $S'.ABCD$ có chung đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Hai đỉnh $S$ và $S'$ nằm về cùng $1$ phía đối với mặt phẳng (ABCD), có hình chiếu vuông góc lên đáy lần lượt là trung điểm H của AD và trung điểm K của BC. Tính thể tích phần chung của 2 hình chóp biết SH=SK'=h

Theo đề bài, có $SH;S'K\perp (ABCD)$

$\Rightarrow (SAD);(SBC)\perp (ABCD)$

$\Rightarrow (SAD)//(SBC)$

$\Rightarrow V_{SAD.S'BC}=HK.S_{\Delta SAD}=a.\frac{1}{2}.a.h=\frac{ha^{2}}{2}$

Có $\Rightarrow V_{S.ABCD}=V_{S'.ABCD}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}=\frac{ha^{2}}{3}$

Gọi giao điểm $SC;S'D$ là $I$; giao điểm $SB;S'A$ là $J$

Giả sử phần chung của $S.ABCD$ và $S'.ABCD$ có thể tích là $V$

Ta có:

$V_{SAD.S'BC}=V_{S.ABCD}+V_{S'.BCIJ}+V_{I.SJS'}$

$V_{SAD.S'BC}=V_{S.ABCD}+V_{S'.ABCD}-V+V_{I.SJS'}$

$\Leftrightarrow V=V_{S.ABCD}+V_{S'.ABCD}+V_{I.SJS'}-V_{SAD.S'BC}$ (1)

Có $BC\perp SS'KH$

$\Rightarrow (SBC)\perp (SS'KH)$ theo giao tuyến $SK$

Trong $S'SK$, kẻ $S'L\perp SK;(L \in SK)$

$\Rightarrow S'L\perp (SBC)$

$\Rightarrow S'L\perp (SIJ)$

$\Rightarrow S'L=\frac{SS'.S'O}{\sqrt{SS'^{2}+S'O^{2}}}=\frac{ha}{\sqrt{h^{2}+a^{2}}}$

Áp dụng $Thales$ và đường trung bình, chứng minh $O$ trung điểm $SK$ và $IJ=\frac{1}{2}BC$

$\Rightarrow SO=\frac{\sqrt{a^{2}+h^{2}}}{2};IJ=\frac{a}{2}$

$\Rightarrow S_{\Delta SIJ}=\frac{1}{2}.SO.IJ=\frac{a\sqrt{a^{2}+h^{2}}}{8}$

$\Rightarrow V_{S'. SIJ}=\frac{1}{3}.SL.S_{\Delta SIJ}=\frac{1}{3}.\frac{ha}{\sqrt{h^{2}+a^{2}}}.\frac{a\sqrt{a^{2}+h^{2}}}{8}=\frac{ha^{2}}{24}$

Thay vào $(1)$

$V=V_{S.ABCD}+V_{S'.ABCD}+V_{I.SJS'}-V_{SAD.S'BC}$

$V=\frac{ha^{2}}{3}+\frac{ha^{2}}{3}+\frac{ha^{2}}{24}-\frac{ha^{2}}{2}$

$V=\frac{5ha^{2}}{24}$