Chủ đề này có 3 trả lời

[Albert einstein vip]

Cho x, y, z > 0 và $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 4$
Chứng minh: $\frac{1}{2x + y + z} + \frac{1}{x + 2y + z} + \frac{1}{x + y + 2z} \leq 1$

[tkvn97]

Cho x, y, z > 0 và $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 4$
Chứng minh: $\frac{1}{2x + y + z} + \frac{1}{x + 2y + z} + \frac{1}{x + y + 2z} \leq 1$

Ta có $\sum \frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{2}.\sum \frac{1}{x+y}\leq \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.4=1$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\frac{3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRUNGKIEN1997: 18-07-2012 - 16:34

[lollipop97]

Cho x, y, z > 0 và $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 4$
Chứng minh: $\frac{1}{2x + y + z} + \frac{1}{x + 2y + z} + \frac{1}{x + y + 2z} \leq 1$

Ta có: $\frac{1}{2x + y + z} = \frac{1}{(x+y)+(x +z)} \leq \frac{1}{4}(\frac{1}{x+y} + \frac{1}{x+z}) \leq \frac{1}{16}(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+ \frac{1}{z}) = \frac{1}{16}(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+ \frac{1}{z})$ (1)
Chứng minh tương tự ta có $\frac{1}{x + 2y + z}\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+ \frac{1}{z})$ (2)
$\frac{1}{x + y + 2z}\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+ \frac{2}{z})$ (3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được điều phải chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi x = y =z = $\frac{3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lollipop97: 18-07-2012 - 16:37

[mbrandm]

Đặt vế trái là P
$4P\leq \frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x} \Leftrightarrow 8P\leq \frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}\Leftrightarrow P\leq \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}{4}=1$
Chú ý BĐT thức phụ: $\frac{4}{a+b}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$.
dấu bằng xảy ra khi x=y=z=$\frac{3}{4}$
bài này dễ, bạn nên để ý tới các bất đẳng thức phụ, phục vụ cho việc chứng minh