$$\begin{cases} x+y+z+u+v=xyuv+(x+y)(u+v) \\ xy+z+uv=xy(u+v)+(uv)(x+y) \end{cases}$$
(Titu Andreescu)
$\begin{cases} x+y+z+u+v=xyuv+(x+y)(u+v) \\ xy+z+uv=xy(u+v)+(uv)(x+y) \end{cases}$
Bắt đầu bởi Zaraki, 19-07-2012 - 07:23
#1
Đã gửi 19-07-2012 - 07:23
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Tìm các số nguyên $x,y,z,u,v$ thỏa mãn hệ
$$\begin{cases} x+y+z+u+v=xyuv+(x+y)(u+v) \\ xy+z+uv=xy(u+v)+(uv)(x+y) \end{cases}$$
$$\begin{cases} x+y+z+u+v=xyuv+(x+y)(u+v) \\ xy+z+uv=xy(u+v)+(uv)(x+y) \end{cases}$$
- henry0905 yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Đã gửi 19-07-2012 - 08:33
Nh0c_vo_D4nh
-
- Thành viên
-
- 18 Bài viết
Binh nhì
Một hướng giải:
Lấy phương trình $(2)-(1)$, nhóm lại ta có: $(xy-x-y)+(uv-u-v)=(u+v-uv)(xy-x-y)$.
Đặt $xy-x-y=a,uv-u-v=b$. Phương trình thành: $a+b+ab+1=1\rightarrow(a+1)(b+1)=1$.
Suy ra: $(a;b)=(0;0)$, $(-2;-2)$.
Với $(a,b)=(0,0)$ suy ra:
$\left\{\begin{array}{} xy-x-y=0 \\ uv-u-v=0\end{array}\right.$. Suy ra $\left\{\begin{array}{} (x-1)(y-1)=1 \\ (u-1)(v-1)=1\end{array}\right.$.
Với $(a,b)=(-2,-2)$ suy ra
$\left\{\begin{array}{} xy-x-y=-2 \\ uv-u-v=-2\end{array}\right.$. Suy ra $\left\{\begin{array}{} (x-1)(y-1)=-1 \\ (u-1)(v-1)=-1\end{array}\right.$.
Đến đây bạn có thể tự giải...
Lấy phương trình $(2)-(1)$, nhóm lại ta có: $(xy-x-y)+(uv-u-v)=(u+v-uv)(xy-x-y)$.
Đặt $xy-x-y=a,uv-u-v=b$. Phương trình thành: $a+b+ab+1=1\rightarrow(a+1)(b+1)=1$.
Suy ra: $(a;b)=(0;0)$, $(-2;-2)$.
Với $(a,b)=(0,0)$ suy ra:
$\left\{\begin{array}{} xy-x-y=0 \\ uv-u-v=0\end{array}\right.$. Suy ra $\left\{\begin{array}{} (x-1)(y-1)=1 \\ (u-1)(v-1)=1\end{array}\right.$.
Với $(a,b)=(-2,-2)$ suy ra
$\left\{\begin{array}{} xy-x-y=-2 \\ uv-u-v=-2\end{array}\right.$. Suy ra $\left\{\begin{array}{} (x-1)(y-1)=-1 \\ (u-1)(v-1)=-1\end{array}\right.$.
Đến đây bạn có thể tự giải...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nh0c_vo_D4nh: 19-07-2012 - 09:21
- perfectstrong, Zaraki, L Lawliet và 1 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
