Chủ đề này có 3 trả lời

[PynkBoo]

Cho $x^{2}+y^{2}=1.$ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $S=\frac{2(xy+y^{2})}{3x^{2}+2xy+y^{2}}$


Thanks các bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PynkBoo: 19-07-2012 - 10:56

[Crystal]

Bạn có thể tham khảo bài toán cùng dạng tại đây.

[nthoangcute]

Cho $x^{2}+y^{2}=1.$ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $S=\frac{2(xy+y^{2})}{3x^{2}+2xy+y^{2}}$

Cách ngắn gọn đây:
Ta có: $S+\frac{\sqrt{6}}{2}-1=\frac{(\sqrt{6}-2)(3x+3y+\sqrt{6}y)^2}{6(3x^2+2xy+y^2)} \geq 0$
Suy ra $S \geq 1-\frac{\sqrt{6}}{2}$
Ta có: $S- \frac{\sqrt{6}}{2}-1 = -\frac{(\sqrt{6}+2)(3x+3y-\sqrt{6}y)^2}{6(3x^2+2xy+y^2)} \leq 0$
Suy ra $S \leq 1+\frac{\sqrt{6}}{2}$

[longqnh]

Cho $x^{2}+y^{2}=1.$ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $S=\frac{2(xy+y^{2})}{3x^{2}+2xy+y^{2}} (*)$


Thanks các bạn

Cách khác:
Đặt:
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = \sin t \\
y = \cos t \\
\end{array} \right.\]
Vậy $(*)$ trở thành:
\[\begin{array}{l}
S = \frac{{2\sin t\cos t + 2{{\cos }^2}t}}{{3{{\sin }^2}t + 2\sin t\cos t{\rm{ + co}}{{\rm{s}}^2}t}} \\
<=> 3S{\sin ^2}t + 2\left( {S - 1} \right)\sin t\cos t + \left( {S - 2} \right){\cos ^2}t = 0 \\
=> 3S{\tan ^2}t + 2\left( {S - 1} \right)\tan t + \left( {S - 2} \right) = 0(**) \\
\end{array}\]
Để $(**)$ có nghiệm thì:
\[\begin{array}{l}
{\left( {S - 1} \right)^2} - 3S\left( {S - 2} \right) \ge 0 \\
<=> 1 - \frac{{\sqrt 6 }}{2} \le S \le 1 + \frac{{\sqrt 6 }}{2} \\
\end{array}\]