Chủ đề này có 15 trả lời

[LakcOngtU]

Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y=2$.Tìm GTLN của biểu thức $A=x^4y^4(x^4+y^4)$.
P/S:các bạn làm bằng cách sử dụng AM-GM nha,cách sử dụng đạo hàm thì mình đã biết.cảm ơn mọi người trước.

[defaw]

Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y=2$.Tìm GTLN của biểu thức $A=x^4y^4(x^4+y^4)$.
Giải: $A=x^4y^4(x^4+y^4)=(xy)^4\cdot (x^4+y^4)\leq (\frac{(x+y)^2}{4})^4\cdot \frac{(x+y)^4}{8}=2$
Vậy $A_{max}=2\Leftrightarrow \begin{cases} x+y=2 \\ x=y \end{cases}\Leftrightarrow x=y=1$.

[nthoangcute]

Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y=2$.Tìm GTLN của biểu thức $A=x^4y^4(x^4+y^4)$.
P/S:các bạn làm bằng cách sử dụng AM-GM nha,cách sử dụng đạo hàm thì mình đã biết.cảm ơn mọi người trước.

Đặt $xy=t$ với $t \leq 1$
$x^4y^4(x^4+y^4)=x^4y^4((x+y)^4-2xy(2(x+y)^2-xy))=t^4(16-2t(8-t))=2t^4(8-8t+t^2)$
Ta sẽ chứng minh $2t^4(8-8t+t^2) \leq \frac{1091584\sqrt{13}-3934208}{729}$
$\Leftrightarrow (81\,{t}^{4}+ \left( -108-108\,\sqrt {13} \right) {t}^{3}+ \left( -216
\,\sqrt {13}+432 \right) {t}^{2}+ \left( 2208-672\,\sqrt {13} \right)
t-1856\,\sqrt {13}+6592) \left( 3\,t-10+2\,\sqrt {13} \right) ^{2} \leq 0$
Nhẹ nhàng thấy
$81\,{t}^{4}+ \left( -108-108\,\sqrt {13} \right) {t}^{3}+ \left( -216
\,\sqrt {13}+432 \right) {t}^{2}+ \left( 2208-672\,\sqrt {13} \right)
t-1856\,\sqrt {13}+6592 <0$
với $0 < t \leq 1$
Suy ra $A \leq \frac{1091584\sqrt{13}-3934208}{729}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 19-07-2012 - 17:57

[defaw]

Theo em, bài này có bài toán mở rộng sau:
$\text{Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x+y=2 và hằng số}$ $k\in \mathbb{Z}$.$\text{Chứng minh rằng:}$$x^ky^k(x^k+y^k)\leq 2.$
Chứng minh: Ta có $x^ky^k(x^k+y^k)\leq (xy)^k\cdot 2\cdot \frac{(x+y)^k}{2^k}\leq (\frac{(x+y)^2}{4})^k\cdot 2\cdot \frac{(x+y)^k}{2^k}=2$.

[nthoangcute]

Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y=2$.Tìm GTLN của biểu thức $A=x^4y^4(x^4+y^4)$.
Giải: $A=x^4y^4(x^4+y^4)=(xy)^4\cdot (x^4+y^4)\leq (\frac{(x+y)^2}{4})^4\cdot \frac{(x+y)^4}{8}=2$
Vậy $A_{max}=2\Leftrightarrow \begin{cases} x+y=2 \\ x=y \end{cases}\Leftrightarrow x=y=1$.

Theo em, bài này có bài toán mở rộng sau:
$\text{Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x+y=2 và hằng số}$ $k\in \mathbb{Z}$.$\text{Chứng minh rằng:}$$x^ky^k(x^k+y^k)\leq 2.$
Chứng minh: Ta có $x^ky^k(x^k+y^k)\leq (xy)^k\cdot 2\cdot \frac{(x+y)^k}{2^k}\leq (\frac{(x+y)^2}{4})^k\cdot 2\cdot \frac{(x+y)^k}{2^k}=2$.

Và bạn đã mắc sai lầm khi giải bài này !!!
Hãy thử nhìn lại xem !!!

[T M]

Rõ ràng $\frac{a^n+b^n}{2} \geq \left ( \frac{a+b}{2} \right )^n$ với $a+b>0$ nên phép chứng minh của bạn defaw đã nhầm rồi nhé !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 19-07-2012 - 19:20

[nthoangcute]

Rõ ràng $\frac{a^n+b^n}{2} \geq \left ( \frac{a+b}{2} \right )^n$ với $a+b>0$ nên phép chứng minh của bạn defaw đã nhầm rồi nhé !

Có lẽ nào bài này đã cho sai đề !
Theo như cách của mình thì: $A_{max}=\frac{1091584\sqrt{13}-3934208}{729}$
Khi và chỉ khi:
$(a,b)=\left (1+\frac{\sqrt{-21+6\sqrt{13}}}{3},1-\frac{\sqrt{-21+6\sqrt{13}}}{3} \right )$ và hoán vị...

Số này quá to nên thật khó để kiếm được một cách chứng minh bằng AM-GM được.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 19-07-2012 - 19:40

[LakcOngtU]

Có lẽ nào bài này đã cho sai đề !
Theo như cách của mình thì: $A_{max}=\frac{1091584\sqrt{13}-3934208}{729}$
Khi và chỉ khi:
$(a,b)=\left (1+\frac{\sqrt{-21+6\sqrt{13}}}{3},1-\frac{\sqrt{-21+6\sqrt{13}}}{3} \right )$ và hoán vị...

Số này quá to nên thật khó để kiếm được một cách chứng minh bằng AM-GM được.

Trước hết mình cảm ơn mọi người đã giải giúp mình
Câu này mình lấy trong quyển 'sử dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức' của anh VÕ QUỐC BÁ CẨN,mình đảm bảo đề bài là chính xác 100%
P/S:bạn nthoangcute xem lại lời giải nha!bài này $max_A=2$

[nthoangcute]

Trước hết mình cảm ơn mọi người đã giải giúp mình
Câu này mình lấy trong quyển 'sử dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức' của anh VÕ QUỐC BÁ CẨN,mình đảm bảo đề bài là chính xác 100%
P/S:bạn nthoangcute xem lại lời giải nha!bài này $max_A=2$

Vậy thì chắc cậu chép sai đề hoặc anh Cẩn sai ???
Mình kiểm chứng thì nếu $(a,b)=(1,265268763,0,7347312370)$ thì $A=2,131801$
Chứng tỏ đã sai !
__________________
P/s: Bạn xem lại đi

[LakcOngtU]

Vậy thì chắc cậu chép sai đề hoặc anh Cẩn sai ???
Mình kiểm chứng thì nếu $(a,b)=(1,265268763,0,7347312370)$ thì $A=2,131801$
Chứng tỏ đã sai !
__________________
P/s: Bạn xem lại đi

mình đã xem lại đề,không sai xót chỗ nào cả,mắt minhf10/10
không nhẽ anh CẨN sai?

[nthoangcute]

mình đã xem lại đề,không sai xót chỗ nào cả,mắt minhf10/10
không nhẽ anh CẨN sai?

Có lẽ nào ... anh Cẩn sai ???

[LakcOngtU]

Nếu anh Cẩn sai thì đây là một điều gây sốc
Mình xin trích dẫn bài toán tổng quát mà anh Cẩn đưa ra:
Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y=2$ và hằng số $k$ nguyên dương.Chứng minh rằng:$x^ky^k(x^k+y^k) \le 2$

[henry0905]

Nếu anh Cẩn sai thì đây là một điều gây sốc
Mình xin trích dẫn bài toán tổng quát mà anh Cẩn đưa ra:
Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y=2$ và hằng số $k$ nguyên dương.Chứng minh rằng:$x^ky^k(x^k+y^k) \le 2$

Anh Cẩn bất cẩn rồi. Đề đúng phải là: Với mỗi số nguyên dương k, tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức $x^{n}y^{n}(x^{k}+y^{k})\leq 2$ đúng với mọi x,y không âm thỏa x+y=2.
Đáp số là $n=\frac{k(k+1)}{2}$
(thầy Trần Nam Dũng dạy thế)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 20-07-2012 - 16:33

[L Lawliet]

Anh Cẩn bất cẩn rồi. Đề đúng phải là: Với mỗi số nguyên dương k, tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức $x^{n}y^{n}(x^{k}+y^{k})\leq 2$ đúng với mọi x,y không âm thỏa x+y=2.
Đáp số là $n=\frac{k(k+1)}{2}$
(thầy Trần Nam Dũng dạy thế)

Mình nghĩ đề không sai đâu, xuất phát từ 2 bất đẳng thức với $k=1,2$ anh Cẩn quy nạp lên với $k$ mà, vả lại nếu sai ngay trang đầu thì đã có phản hồi chỉnh sửa rồi!

[henry0905]

Mình nghĩ đề không sai đâu, xuất phát từ 2 bất đẳng thức với $k=1,2$ anh Cẩn quy nạp lên với $k$ mà, vả lại nếu sai ngay trang đầu thì đã có phản hồi chỉnh sửa rồi!

Nhưng rõ ràng với k=4 thì bạn Việt đã tìm được 2 số dương thỏa GTLN mà không phải là x=y=1. Nếu cách giải có sai đi chăng nữa thì hai con số kia cũng phá vỡ cái dấu bằng x=y=1 rồi còn gì.

[BoFaKe]

Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y=2$.Tìm GTLN của biểu thức $A=x^4y^4(x^4+y^4)$.
P/S:các bạn làm bằng cách sử dụng AM-GM nha,cách sử dụng đạo hàm thì mình đã biết.cảm ơn mọi người trước.

Vậy bạn thử đổi đề thành $x,y$ không âm xem thế nào.