6 replies to this topic

[QUANVU]

Tìm tất cả các bộ ba http://dientuvietnam...etex.cgi?(a,m,n)\in\mathbb{Z^+}^3 sao cho http://dientuvietnam...tex.cgi?a>1,m>n và tập các ước nguyên tố của http://dientuvietnam...metex.cgi?a^m-1 và http://dientuvietnam...metex.cgi?a^n-1 là bằng nhau.

Nhìn lại các bài toán của China TST 2005

[emvaanh]

Bài này mình xin giải vắn tắt như sau, hãy chứng minh kết quả:
(1)Cho d>1, p nguyên tố lẻ khi đó d^p-1 và d-1 không thể có chung tập ước nguyên tố.
CM, ngược lại xét A=(d^p-1)/(d-1). Xét q là ước nguyên tố bất kì của A, suy ra
d 1 (mod q), từ đó suy ra p=q.
Nghĩa là ta vừa chứng minh xong (d^p-1)/(d-1)=p^i. Hãy suy ra i=1 và kết luận mâu thuẫn.
(2)d^2-1 và d-1 cùng tâp ước nguyên tố khi và chỉ khi d=3 (rất dễ)

Áp dụng (1), (2) cho bài của này ta có kết luận (a,m,n)=(3,2,1)

Edited by emvaanh, 27-10-2005 - 09:35.

[QUANVU]

Mình cũng chưa ra đến kết quả cuối cùng nhưng hướng cũng na ná như vậy.He he diễn đàn mới xuất hiện thêm cao thủ rồi

[lehoan]

Kết quả cuối cùng là http://dientuvietnam...=2;n=1;a=2^k-1.

Đây thực chất là một bài trong dự tuyển năm 98.

[emvaanh]

Cám ơn đã cho tôi biết nguồn gốc bài toán.
Đáp số tôi đưa ra là đúng đấy còn đáp số lehoan đưa ra sai rồi!
Chỉ cần tìm a sao cho cà a^2-1 và a-1 đều là lũy thừa của 2 thôi mà!

[lehoan]

Cám ơn đã cho tôi biết nguồn gốc bài toán.
Đáp số tôi đưa ra là đúng đấy còn đáp số lehoan đưa ra sai rồi!
Chỉ cần tìm a sao cho cà a^2-1 và a-1 đều là lũy thừa của 2 thôi mà!

Đó là tất cả các nghiệm của bài toán.
Vì ta có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(2^k-1)^2-1=2^k(2^k-2) dĩ nhiên có cùng tập ước số nguyên tố với http://dientuvietnam...etex.cgi?2^k-2.

[emvaanh]

Ừ mình đã sai lầm ỡ bước cuối là tìm sao cho a^2-1 và a-1 có cùng ước nguyên tố. Rất cám ơn bạn nha!