Chủ đề này có 3 trả lời

[hptai1997]

Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi $n\geq 1$, $n \epsilon N$ :
$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}< \frac{7}{10}$

[henry0905]

Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi $n\geq 1$, $n \epsilon N$ :
A=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}< \frac{7}{10}$

Hướng:
Ta có: $\frac{1}{n+k}+\frac{1}{n+(n+1-k)}< \frac{3}{2n}$
$\Leftrightarrow 3k^{2}< 3nk+n+3k$ luôn đúng với k=1;2;...;n
Với k=1: $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+n}< \frac{3}{2n}$
Với k=2: $\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+(n-1)}< \frac{3}{2n}$
...
Với k=n: $\frac{1}{n+n}+\frac{1}{n+1}< \frac{3}{2n}$
Cộng các vế ta được: $2(\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n})< \frac{3}{2n}+...+\frac{3}{2n}=\frac{3}{2}$
$\Rightarrow A< \frac{3}{4}$
P/s: Mình chỉ chứng minh được A<0.75. Ai chứng minh được $A< \frac{7}{10}$ thì post lên nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 20-07-2012 - 00:18

[defaw]

Giải: Do với $n=1,2,3$ thì bất đẳng thức luôn đúng, xét với $n\geq 4$.
Ta thấy khi $n=1$ thì $VT=\frac{1}{2}$, $VP=\frac{7}{10}$ và $\frac{7}{10}-\frac{1}{2}=\frac{1}{5}$, nên ta chứng minh bất đẳng thức chặt hơn sau:
$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}< \frac{7}{10}-\frac{1}{4n}$, với $n\geq 4$
Với $n=4$, bất đẳng thức đúng, nên giả sử bất đăng thức đúng đến $k$, ta chứng minh bất đăng thức cũng đúng với $k+1$, hay chỉ cần chứng minh bất đẳng thức sau:
$\frac{1}{k+1}+\frac{1}{4k}-(\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}+\frac{1}{4k+4})>0$
$\Leftrightarrow 4(2k+1)^2-16k(k+1)>0\Leftrightarrow 4>0$
Vậy bài toán được chứng minh xong.

[trinhtuananh]

Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi $n\geq 1$, $n \epsilon N$ :
$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}< \frac{7}{10}$

ban chung minh phan phan con lai cua 4a di nhe.