CMR: $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.|xv-uy|$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 20-07-2012 - 12:23
Cho $\overrightarrow{AB}=(x,y); \overrightarrow{AC}=(u,v)$ CMR: $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.|xv-uy|$
Bắt đầu bởi manucian96, 20-07-2012 - 12:10
#1
Đã gửi 20-07-2012 - 12:10
manucian96
-
- Thành viên
-
- 43 Bài viết
Binh nhất
Cho $\overrightarrow{AB}=(x,y); \overrightarrow{AC}=(u,v)$
CMR: $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.|xv-uy|$
CMR: $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.|xv-uy|$
#2
Đã gửi 24-07-2012 - 16:09
khatvonguocmo
-
- Thành viên
-
- 34 Bài viết
Binh nhất
Ta có: $AB=\sqrt{x^2+y^2}$
$AC=\sqrt{u^2+v^2}$
Mặt khác:
$cos(\vec{AB};\vec{AC})=\frac{ux+vy}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{y^2+v^2}}$
=> $sin(\vec{AB};\vec{AC})=\sqrt{1-\frac{x^2u^2+2uxvy+v^2y^2}{(x^2+y^2)(y^2+v^2)}}=\frac{\sqrt{x^2v^2-2xvuy+u^2y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{u^2+v^2}}=\frac{\left | xv-uy \right |}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{u^2+v^2}}$
Do đó:
$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.sin(\vec{AB;\vec{AC}})=\frac{1}{2}.\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{u^2+v^2}.\frac{\left | xv-uy \right |}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{u^2+v^2}}=\frac{1}{2}\left | xv-uy \right |$ (DPCM)
$AC=\sqrt{u^2+v^2}$
Mặt khác:
$cos(\vec{AB};\vec{AC})=\frac{ux+vy}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{y^2+v^2}}$
=> $sin(\vec{AB};\vec{AC})=\sqrt{1-\frac{x^2u^2+2uxvy+v^2y^2}{(x^2+y^2)(y^2+v^2)}}=\frac{\sqrt{x^2v^2-2xvuy+u^2y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{u^2+v^2}}=\frac{\left | xv-uy \right |}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{u^2+v^2}}$
Do đó:
$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.sin(\vec{AB;\vec{AC}})=\frac{1}{2}.\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{u^2+v^2}.\frac{\left | xv-uy \right |}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{u^2+v^2}}=\frac{1}{2}\left | xv-uy \right |$ (DPCM)
- tieulyly1995 yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
