Chủ đề này có 3 trả lời

[Higgs 4 07 2012]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thoả mãn $a+b^2+c^2=1$. Chứng minh rằng $$\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\dfrac{1}{2}$$
Lưu ý : Đề bài không sai nhé

[caovannct]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thoả mãn $a+b^2+c^2=1$. Chứng minh rằng $$\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\dfrac{1}{2}$$
Lưu ý : Đề bài không sai nhé

giả thiết là $a^2+b^2+c^2=1$ chứ bạn? Bạn chắc chắn ko sai đề chứ?

[Tham Lang]

giả thiết là $a^2+b^2+c^2=1$ chứ bạn? Bạn chắc chắn ko sai đề chứ?

Mình từng xử bài này rồi, đề bài không sai đâu bạn.

[WhjteShadow]

Dự đoán dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{2}$
The0 bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:
$a^2+\frac{1}{4}+b^2+c^2\geq a+b^2+c^2$ và $a+b^2+\frac{1}{4}+c^2+\frac{1}{4}\geq a+b+c$
$\to a^2+b^2+c^2\geq \frac{3}{4},a+b+c\leq \frac{3}{2}$
$\to \frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\geq \frac{1}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta có:
$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{a^4}{a^3+a^2b+ab^2}+\frac{b^4}{b^3+b^2c+bc^2}+\frac{c^4}{c^3+c^2a+ca^2}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\geq \frac{1}{2}$
Vậy phép chứng minh hoàn tất.Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 21-07-2012 - 17:10