Chủ đề này có 7 trả lời

[davildark]

Tìm số nguyên tố p để tồn tại các số nguyên dương x , y , n thỏa $p^n=x^3+y^3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 21-07-2012 - 18:20

[defaw]

Giải: Ta có $p^n=(x+y)(x^2-xy+y^2)=p^a\cdot p^b$
Suy ra $(x+y)^2=p^{2a}=x^2+2xy+y^2$ mà $x^2-xy+y^2=p^b$
Nên $3xy=p^{2a+b}\Rightarrow p\vdots 3$ mà $p$ là số nguyên tố, muốn để tồn tại các số $x,y,n$ thì $p=3$
Vậy $p=3$ thoả mãn yêu cầu đề bài.

p/s : xem em sai chỗ nào nhé

[davildark]

Còn TH $ p|xy $ thì sao hả em

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davildark: 21-07-2012 - 19:50

[henry0905]

Còn TH $ p|xy $ thì sao hả em

$\Rightarrow p\vdots xy$
Mà p là số nguyên tố và x,y có vai trò tương đương nhau
$\Rightarrow x=1,y=p$
$\Rightarrow 3p=p^{2a+b}\Leftrightarrow 3=p^{2a+b-1}$
$\Rightarrow p\vdots 3$
Em trả lời vậy được không anh (mình không phải defaw nha)

[ninhxa]

Giải: Ta có $p^n=(x+y)(x^2-xy+y^2)=p^a\cdot p^b$
Suy ra $(x+y)^2=p^{2a}=x^2+2xy+y^2$ mà $x^2-xy+y^2=p^b$
Nên $3xy=p^{2a+b}\Rightarrow p\vdots 3$ mà $p$ là số nguyên tố, muốn để tồn tại các số $x,y,n$ thì $p=3$
Vậy $p=3$ thoả mãn yêu cầu đề bài.

p/s : xem em sai chỗ nào nhé

Ơ, hình như:
$p^b=x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy=p^{2a}-3xy$
$\rightarrow 3xy=p^{2a}-p^b=p^b(p^{2a-b}-1)$ mà. Đâu phải kết quả kia.

[davildark]

$\Rightarrow p\vdots xy$
Mà p là số nguyên tố và x,y có vai trò tương đương nhau
$\Rightarrow x=1,y=p$
$\Rightarrow 3p=p^{2a+b}\Leftrightarrow 3=p^{2a+b-1}$
$\Rightarrow p\vdots 3$
Em trả lời vậy được không anh (mình không phải defaw nha)

Bạn nhầm rồi $xy \vdots p$ chứ không phải $p\vdots xy$

[nguyenta98]

Tìm số nguyên tố p để tồn tại các số nguyên dương x , y , n thỏa $p^n=x^3+y^3$

Thôi tóm lại là mình đề xuất một lời giải này nhé có vẻ nó khả thi hơn
Giải như sau:
Ngoài nghiệm tầm thường $p=2$ và $a=b=1$ thì ta xét nghiệm khác:
Gọi $gcd(x,y)=d \Rightarrow x=dm,y=dn,gcd(m,n)=1$ suy ra $p^n=d^3(m^3+n^3)$
Nhận thấy $p^n \vdots d^3 \Rightarrow p^n \vdots d \Rightarrow d=1,p^x$
TH1: $d=1 \Rightarrow p^n=m^3+n^3,gcd(m,n)=1$
$\Rightarrow p^n=(m+n)(m^2-mn+n^2)$
Nên $m+n=1$ hoặc $m+n=p^a$ nhưng $m,n\geq 1 \Rightarrow m+n=p^a \Rightarrow m^2-mn+n^2=p^b$ với $a+b=n$ và $a,b\geq 1$
Khi ấy suy ra $(m+n)^2-(m^2-mn+n^2)=p^{2a}-p^b=3mn$
$\blacksquare$ Nếu $p=3 \Rightarrow 3^{2a-1}-3^{b-1}=mn$ mà thấy nếu $b>1 \Rightarrow mn \vdots 3 \Rightarrow m$ hoặc $n$ chia hết cho $3$ giả sử $m \vdots 3$
Nhưng thấy $m+n=3^a \Rightarrow n \vdots 3$ vô lý vì $gcd(m,n)=1$
Do đó suy ra $b=1 \Rightarrow 3^{2a-1}-1=mn$
Kết hợp ta có cặp phương trình sau $3^{2a-1}-1=mn$ và $3^{a}=m+n \Rightarrow (m+n)^2-4mn=3^{2a}-4.(3^{2a-1}-1)=(m-n)^2$
Do đó $3^{2a}-4.(3^{2a-1}-1)$ là số chính phương hay $3.3^{2a-1}-4.3^{2a-1}+4$ chính phương hay $4-3^{2a-1}\geq 0$ suy ra $3^{2a-1}=3 \Rightarrow a=1$ ($3^{2a-1}\neq 1$ do $a>0$)
Như vậy ta có thể thấy $p=3$ thì $n=2$ và khi đó thỏa đề
$\blacksquare$ Nếu $p\neq 3 \Rightarrow p^{2a}-p^{b}=3mn$
Thấy $a,b>0$ nên $p^{2a}-p^{b} \vdots p \Rightarrow m,n \vdots p$ (do $gcd(3,p)=1$)
Như vậy giả sử $m \vdots p$ nhưng $m+n=p^a$ với $a>0$ nên suy ra $n \vdots p$ suy ra vô lý do $gcd(m,n)=1$ loại th này
TH2: $d=p^x$ suy ra $p^{n-3x}=m^3+n^3$ đến đây chả khác gì TH1 cả
Vậy $\boxed{p=3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 21-07-2012 - 21:32

[henry0905]

Nói chung là vầy đi:
$p=2;3$ thỏa
Xét p>3 và chọn x,y,n thỏa đề sao cho n bé nhất
Do $p\neq 2 \Rightarrow x;y\neq 1$
$\Rightarrow x+y> 1$
Do p>3 nên $x\vdots p$ hay $y\vdots p$
Mà $x+y\vdots p$
$\Rightarrow x\vdots p$ và $y\vdots p$
$\Rightarrow p^{n-3}=(\frac{x}{p})^{3}+(\frac{y}{p})^{3}$
$\Rightarrow p^{n'}=x'^{3}+y'^{3}$ với (n,x',y')=$(n-3;\frac{x}{p};\frac{y}{p})$
Mà n'<n (trái giả thiết)
Q.E.D

@nguyenta98: Chỗ màu đỏ anh bị nhầm do nguyên lý lùi vô hạn là phải có một biến không đổi ở đây $n'$ cũng bị thay đổi thì không lùi vô hạn được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 21-07-2012 - 21:52