Chủ đề này có 7 trả lời

[hptai1997]

Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}>2$

[L Lawliet]

Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}>2$

Sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$ dạng $\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}$ ta được:
$\sqrt{a\left ( b+c+d \right )}\leq \frac{a+b+c+d}{2}$

Suy ra: $\frac{2\sqrt{a\left ( b+c+d \right )}}{a+b+c+d}\leq 1$

Nhân hai vế của bất đẳng thức này cho $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq 0$ ta được:
$\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2a}{a+b+c+d}$
Chứng minh tương tự, cộng vế theo vế lại ta thu được $Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 22-07-2012 - 14:04

[triethuynhmath]

Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}>2$

Một cách khác :
Áp dụng BĐT cauchy,ta có:
$\sqrt{\frac{b+c+d}{a}}\leq \frac{1}{2}(\frac{b+c+d}{a}+1)=\frac{a+b+c+d}{2a}=>\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2a}{a+b+c+d}$
Tương tự,cộng vế theo vế => $Q.E.D$
Dấu = xảy ra $<=>a=b+c+d,b=a+c+d,c=a+b+c,d=a+b+c=> a+b+c+d=0(VL)$
Vậy dấu "=" không xảy ra .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 22-07-2012 - 14:56

[hptai1997]

Sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$ dạng $\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}$ ta được:
$\sqrt{a\left ( b+c+d \right )}\leq \frac{a+b+c+d}{2}$

Suy ra: $\frac{2\sqrt{a\left ( b+c+d \right )}}{a+b+c+d}\leq 1$

Nhân hai vế của bất đẳng thức này cho $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq 0$ ta được:
$\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2a}{a+b+c+d}$
Chứng minh tương tự, cộng vế theo vế lại ta thu được $Q.E.D$

Bạn chưa loại bỏ trường hợp "="

[L Lawliet]

Bạn chưa loại bỏ trường hợp "="

Loại bỏ trường hợp gì bạn, đây là cách chứng minh của anh Cẩn trong sách $AM-GM$ của anh ấy mà =.="

[triethuynhmath]

Loại bỏ trường hợp gì bạn, đây là cách chứng minh của anh Cẩn trong sách $AM-GM$ của anh ấy mà =.="

Ý bạn ấy nói mình chưa chứng minh dấu "=" không xảy ra ấy

[L Lawliet]

Ý bạn ấy nói mình chưa chứng minh dấu "=" không xảy ra ấy

Ặc, bài toán của mình thì lại xảy ra dấu $"="$ @@ thôi xem cách giải của cậu đi, bất đẳng thức tôi không rành nên không dám thảo luận nhiều @@

[triethuynhmath]

Ặc, bài toán của mình thì lại xảy ra dấu $"="$ @@ thôi xem cách giải của cậu đi, bất đẳng thức tôi không rành nên không dám thảo luận nhiều @@

Bài của cậu cũng không có dấu = đâu, vì dấu = của mình và bạn đều xảy ra $<=>$ :
$\left\{\begin{matrix}a=b+c+d \\ b=a+c+d \\ c=a+b+d \\ d=a+b+c => a+b+c+d=3(a+b+c+d)=> a+b+c+d=0 \end{matrix}\right.$(Mâu thuẫn với $a,b,c,d>0$).
Vì vậy dấu $"="$ không xảy ra
P/s:Nếu bạn đã hiểu thì chỉnh sửa bài viết và nếu cần thì xóa comment này và trên của mình nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 22-07-2012 - 15:11