Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. CMR : $\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq \frac{1}{abc}$
Cho 3 số dương thỏa ab+bc+ca=3.CMR $\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq \frac{1}{abc}$
Bắt đầu bởi caovannct, 22-07-2012 - 18:41
#2
Đã gửi 22-07-2012 - 19:24
viet 1846
-
- Thành viên
-
- 224 Bài viết
Gà con
\[Ineq \Leftrightarrow \sum {\left( {1 - \frac{1}{{1 + {a^2}\left( {b + c} \right)}}} \right) \ge 3 - \frac{1}{{abc}}} \]
\[ \Leftrightarrow \sum {\frac{{{a^2}\left( {b + c} \right)}}{{1 + {a^2}\left( {b + c} \right)}} \ge 3 - \frac{1}{{abc}}} \]
Theo $C-S$ co:
\[\sum {\frac{{{a^2}\left( {b + c} \right)}}{{1 + {a^2}\left( {b + c} \right)}} \ge \frac{{{{\left( {\sum {a\left( {b + c} \right)} } \right)}^2}}}{{\sum {\left[ {b + c + {a^2}{{\left( {b + c} \right)}^2}} \right]} }}} \]
$....$
\[ \Leftrightarrow \sum {\frac{{{a^2}\left( {b + c} \right)}}{{1 + {a^2}\left( {b + c} \right)}} \ge 3 - \frac{1}{{abc}}} \]
Theo $C-S$ co:
\[\sum {\frac{{{a^2}\left( {b + c} \right)}}{{1 + {a^2}\left( {b + c} \right)}} \ge \frac{{{{\left( {\sum {a\left( {b + c} \right)} } \right)}^2}}}{{\sum {\left[ {b + c + {a^2}{{\left( {b + c} \right)}^2}} \right]} }}} \]
$....$
#3
Đã gửi 23-07-2012 - 20:23
Secrets In Inequalities VP
-
- Thành viên
-
- 309 Bài viết
Sĩ quan
Cách khác ;Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. CMR : $\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq \frac{1}{abc}$
Ta có : $ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}\Rightarrow abc\leq 1$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq \sum \frac{1}{abc+a^2(b+c)}= \sum \frac{1}{a(bc+ac+ac)}= \sum \frac{1}{3a}$
$= \frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3c}= \frac{ab+bc+ca}{3abc}= \frac{1}{abc}$
- Mrnhan yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
