Chủ đề này có 2 trả lời

[triethuynhmath]

Chứng minh rằng
$(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}\geq \frac{3}{2}(\sum \frac{a+b}{c})$
Với mọi $a,b,c>0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 23-07-2012 - 17:52

[BlackSelena]

Chứng minh rằng
$(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}\geq \frac{3}{2}(\sum \frac{a+b}{c})$
Với mọi $a,b,c>0$

$(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}\geq \frac{3}{2}(\sum \frac{a+b}{c})$
$\Leftrightarrow 2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2} \geq 3(\sum \frac{a+b}{c})$
Bất đẳng thức cần chứng mnih tương đương
$2(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2})+\frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{b} \geq 3(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})$
Áp dụng bđt AM-GM, ta có
$\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{b^2} + \frac{b}{a} \geq 3\frac{a}{b}$
Thiết lập các bất đẳng thức tương tự ta có $Q.E.D$

[290iy4072012]

Một cách nữa, biến đổi tương đương, ta cần chứng minh :
$$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{1}{2}\left (\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}\right )\ge \dfrac{3}{2}\left (\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right )$$
Chỉ cần chú ý :
$\left\{\begin{array}{1}\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\\ \dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}\ge \dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}+3\ge \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \end{array}\right.$